2. Localiza todas las ráıces del polinomio f(x) = 2x4 − x − 2 y aproxima la mayor de ellas con un error inferior a 10−3.
Solución: f ′(x) = 8x3 −...

Question

2. Localiza todas las ráıces del polinomio f(x) = 2x4 − x − 2 y aproxima la mayor de ellas con un error inferior a 10−3.
Solución: f ′(x) = 8x3 − 1 se anula en x = 1/2, es negativa a su izquierda y positiva a su derecha. Por tanto f es decreciente en el intervalo (−∞, 12) y creciente en el intervalo (12 ,+∞), y puede tener a lo sumo una ráız en cada uno de ellos. Como f(−1) = 1, f(0) = −2, f(1) = −1 y f(2) = 28, hay de hecho una ráız en el intervalo (−1, 0) y otra en el intervalo (1, 2), y son las únicas por lo anterior. Para aproximar la mayor usamos el método de Newton-Raphson con xsig = x−
f(x)
f ′(x)
=
6x4 + 2
8x3 − 1.
Para x0 = 1
′5 se tiene
x0 = 1
′5 x1 = 1
′245192 x2 = 1
′136996 x3 = 1
′117899 x4 = 1
′117349
y a partir de esta aproximación el valor se estabiliza en los tres primeros decimales (de hecho en los 6 primeros), por lo que un valor aproximado de la ráız es 1′117.
Una alternativa sensata, dada la diferencia entre f(1) y f(2), es empezar por ejemplo con x0 = 1
′1; se tiene entonces x1 = 1
′117807 y x2 = 1′117349, con lo que se obtiene la misma respuesta en menos pasos.

Ed · Answer

O polinômio dado é f(x) = 2x^4 - x - 2. Para encontrar as raízes, podemos utilizar o método de Newton-Raphson. Primeiro, calculamos a derivada de f(x), que é f'(x) = 8x^3 - 1.

Em seguida, encontramos os intervalos onde f(x) pode ter raízes. Observando os valores de f(x) para x = -1, 0, 1 e 2, vemos que há uma raiz no intervalo (-1, 0) e outra no intervalo (1, 2).

Para aproximar a maior raiz com um erro inferior a 10^-3, podemos usar o método de Newton-Raphson. Começamos com uma estimativa inicial x0 = 1.5 e aplicamos a fórmula:

x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)
x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)
x3 = x2 - f(x2)/f'(x2)
...

Aplicando essas iterações, encontramos que a raiz se estabiliza em aproximadamente x ≈ 1.117. Portanto, uma aproximação para a maior raiz com um erro inferior a 10^-3 é x ≈ 1.117.

Uma alternativa sensata é começar com uma estimativa inicial mais próxima da raiz, como x0 = 1.1, o que resultaria em menos iterações para obter a mesma resposta.