Calcula el valor del ĺımite ĺım x→0 4xe−2x − ln(1 + 4x) x(1− cos2(2x)). [Si utilizas equivalencias o la regla de l’Hôpital, justifica por qué p...

Calcula el valor del ĺımite ĺım x→0 4xe−2x − ln(1 + 4x) x(1− cos2(2x)). [Si utilizas equivalencias o la regla de l’Hôpital, justifica por qué puedes hacerlo.] Solución: En los cálculos que siguen, primero se usan la identidad trigonométrica sen2(t)+cos2(t) = 1 y la equivalencia sen(t) ≈ t para obtener 1 − cos2(2x) = sen2(2x) ≈ (2x)2 = 4x2, y luego salen indeterminaciones del tipo 0/0 a las que se puede aplicar la regla de l’Hôpital: ĺım x→0 4xe−2x − ln(1 + 4x) x(1− cos2(2x)) = ĺımx→0 4xe−2x − ln(1 + 4x) 4x3 ( = 0− 0 0 ) = = ĺım x→0 4e−2x − 8xe−2x − 4(1 + 4x)−1 12x2 = ĺım x→0 e−2x − 2xe−2x − (1 + 4x)−1 3x2 = ( = 1− 0− 1 0 ) = = ĺım x→0 −2e−2x − 2e−2x + 4xe−2x + 4(1 + 4x)−2 6x = ĺım x→0 −2e−2x + 2xe−2x + 2(1 + 4x)−2 3x = ( = −2 + 2 0 ) = ĺım x→0 4e−x + 2e−x − 4xe−x − 16(1 + 4x)−3 3 = 4 + 2− 16 3 = −10 3 Observación: Es un error usar la equivalencia ln(1+t) ≈ t para sustituir en el denominador ln(1+4x) por 4x, pues ese término no es un factor común de toda la expresión. Si se hace, usando además la equivalencia et − 1 ≈ t, el numerador queda 4xe−2x − 4x = 4x(e−2x − 1) ≈ 4x(−2x) = −8x2 y con el 4x3 de abajo queda a las primeras de cambio −2/x, que tiende a infinito y no es el resultado correcto.