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Ed
Para calcular o limite dado, podemos utilizar a regra de L'Hôpital, que nos permite calcular limites de indeterminações do tipo 0/0. Vamos aplicar a regra: lim x→0 (4xe^(-2x) - ln(1 + 4x))/(x(1 - cos^2(2x))) Primeiro, vamos simplificar a expressão (1 - cos^2(2x)) utilizando a identidade trigonométrica sen^2(t) + cos^2(t) = 1: (1 - cos^2(2x)) = sen^2(2x) ≈ (2x)^2 = 4x^2 Agora, temos: lim x→0 (4xe^(-2x) - ln(1 + 4x))/(x(4x^2)) Ainda temos uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos aplicar a regra de L'Hôpital novamente: lim x→0 (4e^(-2x) - 8xe^(-2x) - 4(1 + 4x)^(-1))/(12x^2) Agora, substituímos x por 0 na expressão acima: (4e^0 - 8(0)e^0 - 4(1 + 4(0))^(-1))/(12(0)^2) (4 - 0 - 4)/(0) 0/0 Ainda temos uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos aplicar a regra de L'Hôpital mais uma vez: lim x→0 (-2e^(-2x) + 2xe^(-2x) + 2(1 + 4x)^(-2))/(3x) Agora, substituímos x por 0 na expressão acima: (-2e^0 + 2(0)e^0 + 2(1 + 4(0))^(-2))/(3(0)) (-2 + 0 + 2)/(0) 0/0 Mais uma vez, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos aplicar a regra de L'Hôpital novamente: lim x→0 (4e^(-x) + 2e^(-x) - 4xe^(-x) - 16(1 + 4x)^(-3))/(3) Agora, substituímos x por 0 na expressão acima: (4e^(-0) + 2e^(-0) - 4(0)e^(-0) - 16(1 + 4(0))^(-3))/(3) (4 + 2 - 0 - 16)/(3) -10/3 Portanto, o valor do limite é -10/3.
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