En R2, sea D la mitad derecha del ćırculo centrado en el origen de radio 5, o sea el conjunto de los (x, y) con x ≥ 0 y x2 + y2 ≤ 25. Determina lo...

Para determinar os extremos absolutos da função f(x, y) = x^2 + 8x + y^2 - 6y na região D, que é a metade direita do círculo centrado na origem de raio 5, devemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os pontos críticos da função: Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y e igualamos a zero: ∂f/∂x = 2x + 8 = 0 ∂f/∂y = 2y - 6 = 0 Resolvendo essas equações, encontramos o ponto crítico (-4, 3). 2. Verificar os pontos de fronteira: Como a região D é definida por x ≥ 0 e x^2 + y^2 ≤ 25, precisamos verificar os pontos de fronteira dessa região. a) Para x = 0, temos y^2 ≤ 25, o que implica -5 ≤ y ≤ 5. Portanto, temos os pontos de fronteira (0, -5) e (0, 5). b) Para x > 0, temos que a restrição x^2 + y^2 ≤ 25 define um semicírculo de raio 5 centrado na origem. Nesse caso, não há pontos críticos no interior do semicírculo. 3. Avaliar a função nos pontos críticos e nos pontos de fronteira: Calculamos o valor da função f(x, y) nos pontos críticos e nos pontos de fronteira para determinar os extremos absolutos. f(-4, 3) = (-4)^2 + 8(-4) + 3^2 - 6(3) = 16 - 32 + 9 - 18 = -25 f(0, -5) = 0^2 + 8(0) + (-5)^2 - 6(-5) = 0 + 0 + 25 + 30 = 55 f(0, 5) = 0^2 + 8(0) + 5^2 - 6(5) = 0 + 0 + 25 - 30 = -5 Portanto, o ponto (-4, 3) é o ponto de mínimo absoluto e o ponto (0, -5) é o ponto de máximo absoluto na região D.