Calcula I = ∫∫ D x dx dy, donde D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, x+ y ≥ 0}

Para calcular a integral dupla I = ∫∫ D x dx dy, onde D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, x + y ≥ 0}, podemos utilizar coordenadas polares. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração em coordenadas polares. A condição x + y ≥ 0 nos diz que a região D está acima ou sobre o eixo x negativo. Em coordenadas polares, isso corresponde a um ângulo θ entre -π/2 e π/2. A condição x2 + y2 ≤ 4 nos diz que a região D está dentro ou sobre o círculo de raio 2 centrado na origem. Em coordenadas polares, isso corresponde a um raio r entre 0 e 2. Agora, podemos escrever a integral dupla em coordenadas polares: I = ∫∫ D x dx dy = ∫∫ D (r cosθ) r dr dθ Os limites de integração são: θ: -π/2 a π/2 r: 0 a 2 Agora, podemos calcular a integral: I = ∫∫ D (r cosθ) r dr dθ = ∫ -π/2 a π/2 ∫ 0 a 2 (r^2 cosθ) dr dθ Resolvendo essa integral, obtemos o valor de I.