7. Escribir la matriz en la base canónica del endomorfismo de R2 tal que el vector u1 = (1, 1) se transforma en el vector (0, √2) y el vector u2 =...

7. Escribir la matriz en la base canónica del endomorfismo de R2 tal que el vector u1 = (1, 1) se transforma en el vector (0, √2) y el vector u2 = (−1, 1) en el (−√2, 0).
¿Es ortogonal?
Solución:
Tomando {u1, u2} como base en el espacio de salida y la base canónica en el espacio de llegada la matriz A1 de la aplicación es
A1 =
(
0 − √2√2 0
).
Sea S la matriz de cambio de base
S =
(
1 −1
1 1
).
Entonces la matriz A de la aplicación en la base canónica es A = A1S−1. Calculando S−1 tenemos S−1 =
1
2
(
1 1
−1 1
).
Por lo que
A =
(√2
2
− √2
2√2
2
√2
2
).
Observamos que AtA = I por lo que śı que es ortogonal.