Caṕıtulo 1. Conjuntos 1.6. Cardinal de la unión de tres conjuntos Sea M un conjunto finito (es decir, con un número finito de elementos). Se den...

Caṕıtulo 1. Conjuntos
1.6. Cardinal de la unión de tres conjuntos
Sea M un conjunto finito (es decir, con un número finito de elementos). Se denota por card M , por #(M) o bien por |A| al cardinal de M . Sean ahora A,B,C tres conjuntos finitos. Demostrar las fórmulas:
(a) |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.
(b) |A∪B ∪C| = |A|+ |B|+ |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B ∩C|+ |A∩B ∩C|.
(c) Aplicación. Calcular cuantos números naturales menores o iguales que 1000 existen que no sean múltiplos no de 3, ni de 5, ni de 7.
Solución. (a) Si escribimos |A|+ |B| estamos contando dos veces cada ele- mento de A ∩B, en consecuencia |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.
(b) Usando las propiedad asociativa de la unión, el apartado (a) y la propie- dad distributiva de la intersección respecto de la unión:
|A ∪B ∪ C| = |(A ∪B) ∪ C| = |A ∪B|+ |C| − |A ∪B) ∩ C|
= |A|+ |B| − |A ∩B|+ |C| − |(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)|. (1)
Usando el apartado (a) y las propiedades asociativa e idempotente de la intersección:
|(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)| = |A ∩ C|+ |B ∩ C| − |(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)|
= |A ∩ C|+ |B ∩ C| − |A ∩B ∩ C|. (2)
Usando (1) y (2) queda:
|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|.
(c) Llamemos A3, A5 y A7 los conjuntos de los múltiplos de 3, 5 y 7 respec- tivamente y que son menores o iguales que 1000. Entonces, A3∩A5, A3∩A5, A5 ∩A7, y A3 ∩A5 ∩A7 son respectivamente los conjuntos cuyos elementos son los múltiplos de 15, 21, 35 y 105 respectivamente y que son menores o iguales que 1000. Tenemos:
1000 = 3 · 333 + 1
1000 = 5 · 200
1000 = 7 · 142 + 6
⇒

|A3| = 333
|A5| = 200
|A7| = 142,
1000 = 15 · 66 + 10
1000 = 21 · 47 + 13
1000 = 35 · 28 + 20
⇒

|A3 ∩A5| = 66
|A5 ∩A7| = 47
|A5 ∩A7| = 28,
1000 = 105 · 9 + 55⇒ |A3 ∩A5 ∩A7| = 9.