3. En R2 se define la operación + de la siguiente manera: (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2). (i) Demostrar que (R2,+) es grupo. (ii) Demost...

(i) Para mostrar que (R2, +) é um grupo, precisamos verificar as seguintes propriedades: 1. Fechamento: Para quaisquer elementos (x1, x2) e (y1, y2) em R2, a soma (x1 + y1, x2 + y2) também pertence a R2. 2. Associatividade: Para quaisquer elementos (x1, x2), (y1, y2) e (z1, z2) em R2, temos [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2) = (x1 + [y1 + z1], x2 + [y2 + z2]) = (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)]. 3. Elemento neutro: Existe um elemento neutro (0, 0) em R2, tal que para qualquer elemento (x1, x2) em R2, temos (x1, x2) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1, x2). 4. Elemento inverso: Para cada elemento (x1, x2) em R2, existe um elemento inverso (-x1, -x2) em R2, tal que (x1, x2) + (-x1, -x2) = (x1 + (-x1), x2 + (-x2)) = (0, 0). (ii) Para mostrar que H1 = {(α, 0) : α ∈ R} e H2 = {(0, β) : β ∈ R} são subgrupos de R2, precisamos verificar as seguintes propriedades: 1. Fechamento: Para quaisquer elementos (α1, 0) e (α2, 0) em H1, a soma (α1 + α2, 0) também pertence a H1. O mesmo vale para H2. 2. Inverso: Para cada elemento (α, 0) em H1, existe um elemento inverso (-α, 0) em H1, tal que (α, 0) + (-α, 0) = (α + (-α), 0 + 0) = (0, 0). O mesmo vale para H2. 3. Elemento neutro: O elemento neutro (0, 0) pertence tanto a H1 quanto a H2. (iii) Para mostrar que H1 ∪ H2 não é um subgrupo de R2, precisamos encontrar um contraexemplo. Considere os elementos (1, 0) em H1 e (0, 1) em H2. A soma desses elementos, (1, 1), não pertence a H1 ∪ H2, pois não satisfaz as condições de H1 nem de H2. Portanto, H1 ∪ H2 não é um subgrupo de R2. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.