En el conjunto de los números reales se define las operación x∗y = x+y+4. Demostrar que (R, ∗) es grupo abeliano.

Para demonstrar que o conjunto dos números reais com a operação ∗ é um grupo abeliano, precisamos verificar se ele satisfaz as propriedades de grupo e de grupo abeliano. 1. Propriedade de grupo: - Fechamento: Para todo x, y ∈ R, temos que x∗y = x+y+4 ∈ R. Portanto, a operação ∗ é fechada em R. - Associatividade: Para todo x, y, z ∈ R, temos que (x∗y)∗z = (x+y+4)∗z = (x+y+4)+z+4 = x+y+z+8 e x∗(y∗z) = x∗(y+z+4) = x+(y+z+4)+4 = x+y+z+8. Portanto, a operação ∗ é associativa em R. - Elemento neutro: Existe um elemento neutro e ∈ R tal que para todo x ∈ R, temos que x∗e = x+e+4 = x. Isso implica que e+4 = 0, então e = -4. Portanto, -4 é o elemento neutro em R. - Elemento inverso: Para todo x ∈ R, existe um elemento inverso x⁻¹ ∈ R tal que x∗x⁻¹ = x+x⁻¹+4 = -4. Isso implica que x⁻¹ = -2x-4. Portanto, para cada elemento x em R, seu inverso é -2x-4. 2. Propriedade de grupo abeliano: - Comutatividade: Para todo x, y ∈ R, temos que x∗y = x+y+4 = y+x+4 = y∗x. Portanto, a operação ∗ é comutativa em R. Assim, demonstramos que o conjunto dos números reais com a operação ∗ é um grupo abeliano.