En el conjunto de los números reales R se define la operación ∗ mediante x ∗ y = 3√x3 + y3. Demostrar que (R, ∗) es un grupo abeliano.

Para demonstrar que (R, ∗) é um grupo abeliano, precisamos verificar se ele satisfaz as propriedades de grupo e de grupo abeliano. 1. Propriedade de grupo: - Fechamento: Para todo x, y em R, precisamos mostrar que x ∗ y está em R. Neste caso, x ∗ y = 3√(x^3 + y^3), que é uma operação válida em R, portanto, o fechamento é satisfeito. - Associatividade: Para todo x, y, z em R, precisamos mostrar que (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). Neste caso, temos que (x ∗ y) ∗ z = 3√((x^3 + y^3)^3 + z^3) e x ∗ (y ∗ z) = 3√(x^3 + (y^3 + z^3)^3). Como a operação de raiz cúbica é associativa, temos que (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), portanto, a associatividade é satisfeita. - Elemento neutro: Precisamos encontrar um elemento e em R tal que para todo x em R, e ∗ x = x ∗ e = x. Neste caso, podemos verificar que e = 0 é o elemento neutro, pois 0 ∗ x = 3√(0^3 + x^3) = 3√x^3 = x. Portanto, o elemento neutro é satisfeito. - Elemento inverso: Para todo x em R, precisamos encontrar um elemento y em R tal que x ∗ y = y ∗ x = e. Neste caso, podemos verificar que y = -x é o elemento inverso, pois x ∗ (-x) = 3√(x^3 + (-x)^3) = 3√(x^3 - x^3) = 3√0 = 0. Portanto, o elemento inverso é satisfeito. 2. Propriedade de grupo abeliano: - Comutatividade: Para todo x, y em R, precisamos mostrar que x ∗ y = y ∗ x. Neste caso, temos que x ∗ y = 3√(x^3 + y^3) e y ∗ x = 3√(y^3 + x^3). Como a operação de raiz cúbica é comutativa, temos que x ∗ y = y ∗ x, portanto, a comutatividade é satisfeita. Portanto, podemos concluir que (R, ∗) é um grupo abeliano.