1. Sea K un cuerpo y definamos en Kn (n ≥ 1) la operación suma: (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn). Definamos ademá...

Para demonstrar que Kn é um espaço vetorial sobre o corpo K com as operações definidas, precisamos verificar se as 10 propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas. Vou listar essas propriedades: 1. Fechamento da adição: Para quaisquer vetores u = (x1, ..., xn) e v = (y1, ..., yn) em Kn, a soma u + v = (x1 + y1, ..., xn + yn) também pertence a Kn. 2. Comutatividade da adição: Para quaisquer vetores u e v em Kn, u + v = v + u. 3. Associatividade da adição: Para quaisquer vetores u, v e w em Kn, (u + v) + w = u + (v + w). 4. Existência do vetor nulo: Existe um vetor 0 em Kn, tal que para qualquer vetor u em Kn, u + 0 = u. 5. Existência do elemento oposto: Para cada vetor u em Kn, existe um vetor -u em Kn, tal que u + (-u) = 0. 6. Fechamento da multiplicação por escalar: Para qualquer escalar λ em K e qualquer vetor u em Kn, o produto λu = (λx1, ..., λxn) pertence a Kn. 7. Associatividade da multiplicação por escalar: Para quaisquer escalares λ e μ em K e qualquer vetor u em Kn, (λμ)u = λ(μu). 8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para quaisquer escalares λ em K e quaisquer vetores u e v em Kn, λ(u + v) = λu + λv. 9. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para quaisquer escalares λ e μ em K e qualquer vetor u em Kn, (λ + μ)u = λu + μu. 10. Identidade multiplicativa: Para qualquer vetor u em Kn, 1u = u, onde 1 é o elemento neutro da multiplicação em K. Agora, você pode verificar se todas essas propriedades são satisfeitas com as operações definidas em Kn.