5. Sea E = Kn×n el espacio vectorial usual de las matrices cuadradas de ordenes n×n y con elementos en el cuerpo K. Sea el subconjunto de E dado po...

Para demonstrar que F é um subespaço de E, precisamos verificar duas condições: fechamento sob a adição de vetores e fechamento sob a multiplicação por escalar. 1. Fechamento sob a adição de vetores: Sejam A e B duas matrizes simétricas em F. Isso significa que A^t = A e B^t = B. Agora, vamos verificar se a soma de A e B também é uma matriz simétrica. (A + B)^t = A^t + B^t (propriedade da transposição de matrizes) = A + B (pois A^t = A e B^t = B) Portanto, (A + B)^t = A + B, o que significa que a soma de duas matrizes simétricas também é uma matriz simétrica. Assim, F é fechado sob a adição de vetores. 2. Fechamento sob a multiplicação por escalar: Seja A uma matriz simétrica em F e k um escalar qualquer. Vamos verificar se o produto de A por k também é uma matriz simétrica. (kA)^t = k(A^t) (propriedade da transposição de matrizes) = kA (pois A^t = A) Portanto, (kA)^t = kA, o que significa que o produto de uma matriz simétrica por um escalar também é uma matriz simétrica. Assim, F é fechado sob a multiplicação por escalar. Como F satisfaz as duas condições necessárias para ser um subespaço de E, podemos concluir que F é de fato um subespaço de E.