2. Demostrar que B = {u1, u2, u3} es base del espacio vectorial S de las matrices cuadradas, reales y simétricas de orden 2, siendo: u1 = [ 1 0 0 ...

Para demonstrar que B = {u1, u2, u3} é uma base do espaço vetorial S das matrizes quadradas, reais e simétricas de ordem 2, precisamos verificar duas condições: linearmente independente e gerador. 1. Linearmente independente: Para mostrar que B é linearmente independente, devemos verificar se a única combinação linear que resulta em um vetor nulo é a combinação linear trivial. Ou seja, se a única solução para a equação a1u1 + a2u2 + a3u3 = 0 é a1 = a2 = a3 = 0. Podemos escrever a equação da seguinte forma: a1 * u1 + a2 * u2 + a3 * u3 = a1 * [1 0; 0 0] + a2 * [0 1; 1 0] + a3 * [0 0; 0 1] = [ a1 0; 0 0] + [0 a2; a2 0] + [0 0; 0 a3] = [ a1 a2; a2 0] Igualando essa matriz à matriz nula: [ a1 a2; a2 0] = [0 0; 0 0] Podemos ver que a única solução para essa equação é a1 = a2 = 0. Portanto, B é linearmente independente. 2. Gerador: Para mostrar que B é um gerador do espaço S, devemos verificar se qualquer matriz simétrica de ordem 2 pode ser expressa como uma combinação linear dos vetores em B. Uma matriz simétrica de ordem 2 pode ser escrita como: [ a b; b c] Podemos reescrever essa matriz como: a * [1 0; 0 0] + (b + b) * [0 1; 1 0] + c * [0 0; 0 1] Podemos ver que essa matriz pode ser expressa como uma combinação linear dos vetores em B. Portanto, B é um gerador do espaço S. Portanto, concluímos que B = {u1, u2, u3} é uma base do espaço vetorial S das matrizes quadradas, reais e simétricas de ordem 2.