3. Demostrar que B = {u1, u2, u3} es base del espacio vectorial A de las matrices cuadradas, reales y antisimétricas de orden 3, siendo: u1 = 0 ...

Para demonstrar que B = {u1, u2, u3} é uma base do espaço vetorial A das matrizes quadradas, reais e antisimétricas de ordem 3, precisamos verificar duas condições: linearmente independente e gerador do espaço. 1. Linearmente independente: Para mostrar que B é linearmente independente, devemos verificar se a única combinação linear que resulta em um vetor nulo é a combinação linear trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Suponha que existam coeficientes a, b e c tais que a*u1 + b*u2 + c*u3 = 0, onde 0 é a matriz nula de ordem 3x3. Podemos escrever essa equação como um sistema de equações lineares: 0 = a*u1 + b*u2 + c*u3 0 = a*0 + b*0 + c*0 0 = 0 Como todas as equações são iguais a zero, podemos concluir que a = b = c = 0. Portanto, B é linearmente independente. 2. Gerador do espaço: Para mostrar que B é gerador do espaço A, devemos verificar se qualquer matriz antisimétrica de ordem 3 pode ser expressa como uma combinação linear dos vetores em B. Dado um vetor qualquer v = [x y z; p q r; s t u], onde x, y, z, p, q, r, s, t e u são números reais, podemos escrever v como uma combinação linear dos vetores em B: v = x*u1 + y*u2 + z*u3 = x*[0 -1 0; 1 0 0; 0 0 0] + y*[0 0 -1; 0 0 0; 1 0 0] + z*[0 0 0; 0 0 -1; 0 1 0] = [0 -x y; x 0 z; -y -z 0] + [0 0 -z; 0 0 -y; z 0 0] + [0 y 0; -y 0 x; 0 -x 0] = [0 -x y-z; x 0 z-y; -y+z -y-x 0] Portanto, qualquer matriz antisimétrica de ordem 3 pode ser expressa como uma combinação linear dos vetores em B. Assim, concluímos que B = {u1, u2, u3} é uma base do espaço vetorial A das matrizes quadradas, reais e antisimétricas de ordem 3.