Sea K un cuerpo y A ∈ Kn×n matriz fija dada. Demostrar que aplicación f : Kn×n → Kn×n, f(X) = AX −XA es lineal.

Para demonstrar que a aplicação f: Kn×n → Kn×n, f(X) = AX - XA é linear, precisamos mostrar que ela preserva as propriedades de adição e multiplicação por escalar. 1. Propriedade de adição: Sejam X e Y duas matrizes em Kn×n e c um escalar. Vamos mostrar que f(X + Y) = f(X) + f(Y). f(X + Y) = A(X + Y) - (X + Y)A (substituindo na definição de f) = AX + AY - XA - YA (distribuindo a multiplicação) = AX - XA + AY - YA (rearranjando os termos) Agora, vamos analisar f(X) + f(Y): f(X) + f(Y) = (AX - XA) + (AY - YA) (substituindo nas definições de f) = AX - XA + AY - YA (rearranjando os termos) Portanto, f(X + Y) = f(X) + f(Y), o que mostra que f preserva a propriedade de adição. 2. Propriedade de multiplicação por escalar: Seja X uma matriz em Kn×n e c um escalar. Vamos mostrar que f(cX) = cf(X). f(cX) = A(cX) - (cX)A (substituindo na definição de f) = c(AX) - c(XA) (distribuindo a multiplicação) = cf(X) - cf(X) (substituindo nas definições de f) Portanto, f(cX) = cf(X), o que mostra que f preserva a propriedade de multiplicação por escalar. Assim, concluímos que a aplicação f: Kn×n → Kn×n, f(X) = AX - XA é linear.