Aplicando f a ambos miembros: y = f(x) = x1f(u1) + · · ·+ xnf(un), luego B′ es sistema generador de F. 8. Sea B = {u1, . . . , un} una base de E. C...

Aplicando f a ambos miembros:
y = f(x) = x1f(u1) + · · ·+ xnf(un),
luego B′ es sistema generador de F.
8. Sea B = {u1, . . . , un} una base de E. Consideremos la aplicación:
f : Kn → E, f(x1, . . . , xn) = x1u1 + · · ·+ xnun.
Veamos que f es isomorfismo. Para todo λ, µ ∈ K y para todo (x1, . . . , xn),
(y1, . . . , yn) ∈ K :
f [λ(x1, . . . , xn) + µ(y1, . . . , yn)] = f(λx1 + µy1, . . . , λxn + µyn)
= (λx1 + µy1)u1 + · · ·+ (λxn + µyn)un = λ(x1u1 + · · ·+ xnun)
+µ(y1u1 + · · ·+ ynun) = λf(x1, . . . , xn) + µf(y1, . . . , yn)
es decir, f es lineal.
Si (x1, . . . , xn) ∈ ker f, entonces f(x1, . . . , xn) = x1u1 + · · · + xnun = 0.
Como las coordenadas de un vector respecto de una determinada base son
únicas, x1 = . . . xn = 0, es decir el núcleo de f se reduce al vector nulo y
por tanto f es inyectiva.
Por el teorema de las dimensiones, dim Im f = n = dimE, por tanto
Im f = E, lo cual implica que f es sobreyectiva.
9. Sean BE = {u1, . . . , un} y BF = {v1, . . . , vn} bases de E y F respectiva-
mente. Sea x = x1u1 + . . .+ xnun ∈ E (xi ∈ K). Definimos la aplicación
f : E → F, f(x) = x1v1 + · · ·+ xnvn.
Para todo λ, µ ∈ K y para todo x, y ∈ E :
f(λx+ µy) = f (λ(x1u1 + · · ·+ xnun) + µ(y1u1 + · · ·+ ynun))
= f ((λx1 + µy1)u1 + · · ·+ (λxn + µyn)un)
= (λx1 + µy1)v1 + · · ·+ (λxn + µyn)vn
= λ(x1v1 + · · ·+ xnvv) + µ(y1v1 + · · ·+ ynvv) = λf(x) + µf(y),
por tanto f es lineal. Si x ∈ ker f, entonces f(x) = x1v1 + · · ·+xnvn = 0. Por
ser BF sistema libre, x1 = . . . = xn = 0, luego x = 0. El núcleo se reduce
al vector nulo, por tanto f es inyectiva. Por el teorema de las dimensiones
para aplicaciones lineales, dimF = n, en consecuencia f es sobreyectiva.

Aplicando f a ambos miembros, se obtiene la expresión y = f(x) = x1f(u1) + · · ·+ xnf(un).
La base B′ es un sistema generador de F.
La aplicación f : Kn → E, f(x1, . . . , xn) = x1u1 + · · ·+ xnun, es un isomorfismo.
La aplicación f es lineal.
El núcleo de f se reduce al vector nulo, por lo tanto f es inyectiva.
La imagen de f es igual a E, lo cual implica que f es sobreyectiva.
La aplicación f : E → F, f(x) = x1v1 + · · ·+ xnvn, es lineal.
El núcleo de f se reduce al vector nulo, por lo tanto f es inyectiva.
La imagen de f es igual a F, lo cual implica que f es sobreyectiva.