Probar que B = (φ1, φ2, φ3) es una familia libre en C(R). Si E es el subespacio vectorial de C(R) generado por B, demostrar que la funcion φ : R→ R...

Para provar que B = (φ1, φ2, φ3) é uma família livre em C(R), precisamos mostrar que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial. Ou seja, se a combinação linear a1φ1 + a2φ2 + a3φ3 = 0, então a1 = a2 = a3 = 0. Agora, vamos verificar se a função φ(x) = 1 + x - x log |x| pertence ao subespaço vetorial E gerado por B. Para isso, precisamos verificar se φ(x) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em B. Podemos reescrever φ(x) como φ(x) = 1 + x - x log |x| = 1 + x - x log x se x > 0, e φ(x) = 1 + x + x log (-x) se x < 0. Agora, vamos encontrar as coordenadas de φ(x) na base B. Para isso, precisamos encontrar os escalares a1, a2 e a3 tais que a1φ1 + a2φ2 + a3φ3 = φ(x). Comparando as expressões, podemos ver que a1 = 1, a2 = -1 e a3 = 0. Portanto, as coordenadas de φ(x) na base B são (1, -1, 0). Concluímos que a função φ(x) = 1 + x - x log |x| pertence ao subespaço vetorial E gerado por B e suas coordenadas na base B são (1, -1, 0).