3. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K y f : E → E un endomorfismo que admite m valores propios distintos λ1, . . . , λm. Sea S = {x1, . . . ...

Para demonstrar que S é um sistema livre, precisamos mostrar que os vetores em S são linearmente independentes. Suponha que existam escalares c1, c2, ..., cm em K, não todos iguais a zero, tais que c1x1 + c2x2 + ... + cmxm = 0. Agora, vamos aplicar o endomorfismo f em ambos os lados dessa equação: f(c1x1 + c2x2 + ... + cmxm) = f(0). Usando as propriedades do endomorfismo, temos: c1f(x1) + c2f(x2) + ... + cmf(xm) = 0. Sabemos que f(xi) = λixi, pois xi é um vetor próprio associado a λi. Substituindo na equação acima, temos: c1λ1x1 + c2λ2x2 + ... + cmλmxm = 0. Como os valores próprios λ1, λ2, ..., λm são distintos, os vetores xi são linearmente independentes. Portanto, os coeficientes c1, c2, ..., cm devem ser todos iguais a zero para que a equação seja satisfeita. Assim, concluímos que S é um sistema livre.