Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios 11.11. Diagonalización de un endomorfismo en R2×2 Sea E = R2×2 el espacio vectorial real de las matrices ...

Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
11.11. Diagonalización de un endomorfismo en
R2×2
Sea E = R2×2 el espacio vectorial real de las matrices de orden 2. Se consi-
dera la aplicación
f : E → E , f(X) = Xt (traspuesta de X).
(a) Demostrar que f es lineal.
(b) Hallar la matriz A de f con respecto a la base canónica de E.
(c) Calcular los autovalores de f , los autoespacios, sus dimensiones y una
base de cada uno de ellos.
Solución. (a) Para todo α, β ∈ R, para todo X,Y ∈ E y usando conocidas
propiedades de la trasposición:
f(αX + βY ) = (αX + βY )t = αXt + βY t = αf(X) + βf(Y ).
Es decir, f es lineal.
(b) Consideremos la base canónica B = {u1, u2, u3, u4} de E :
u1 =
[
1 0
0 0
]
, u2 =
[
0 1
0 0
]
, u3 =
[
0 0
1 0
]
, u4 =
[
0 0
0 1
]
.
Hallando los transformados de los elementos deB y trasponiendo coeficientes
obtenemos la matriz A pedida:
f(u1) = u1
f(u2) = u3
f(u3) = u2
f(u4) = u4
⇒ A =

1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
 .
(c) Tenemos:∣∣∣∣∣∣∣∣
1− λ 0 0 0
0 −λ 1 0
0 1 −λ 0
0 0 0 1− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)
∣∣∣∣∣∣
−λ 1 0
1 −λ 0
0 0 1− λ
∣∣∣∣∣∣
= (1− λ)(1− λ)(λ2 − 1) = (λ+ 1)(λ− 1)3.
Los valores propios o autovalores son λ = −1 (simple) y λ = 1 (triple). Los
autoespacios o subespacios propios son:
V−1 ≡

2x1 = 0
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 0
2x4 = 0
, V1 ≡

0 = 0
−x2 + x3 = 0
x2 − x3 = 0
0 = 0.