3. Demostrar que la matriz M(α) y el endomorfismo Tα tienen los mismos valores propios para cualquiera que sea α ∈ R.

Para demonstrar que a matriz M(α) e o endomorfismo Tα têm os mesmos valores próprios para qualquer α ∈ R, podemos seguir os seguintes passos: 1. Seja λ um valor próprio de M(α), isso significa que existe um vetor não nulo v tal que M(α)v = λv. 2. Vamos considerar o endomorfismo Tα. Sabemos que Tα(v) = αv, onde v é um vetor não nulo. 3. Agora, vamos calcular Tα(v) usando a matriz M(α). Temos que M(α)v = λv, então podemos escrever Tα(v) como Tα(v) = M(α)v = λv. 4. Portanto, Tα(v) = λv, o que significa que λ é um valor próprio de Tα. 5. Da mesma forma, podemos fazer o processo inverso. Se λ é um valor próprio de Tα, então existe um vetor não nulo v tal que Tα(v) = λv. 6. Usando a matriz M(α), podemos escrever Tα(v) como Tα(v) = M(α)v. Substituindo λv por Tα(v), temos M(α)v = λv. 7. Assim, λ é um valor próprio de M(α). 8. Concluímos que a matriz M(α) e o endomorfismo Tα têm os mesmos valores próprios para qualquer α ∈ R. Espero que isso tenha ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.