Averiguar si es plana la curva de ecuaciones paramétricas x = t, y = t2 + t+ 2 / t, z = −t2 − t+ 3 / t (t > 0). En caso afirmativo, hallar la ecua...

Averiguar si es plana la curva de ecuaciones paramétricas
x = t, y = t2 + t+ 2 / t, z = −t2 − t+ 3 / t (t > 0).
En caso afirmativo, hallar la ecuación cartesiana del plano que la contiene.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución. La curva es plana si y sólo si y existe un plano que la contiene
es decir, si y sólo si existe un plano π ≡ Ax+By + Cz +D = 0 tal que
At+B (t2 + t+ 2 / t) + (−t2 − t+ 3 / t) +D = 0 (∀t > 0).
Multiplicando por t y agrupando términos semejantes obtenemos equivalen- temente
(A+B − C)t2 + (B − C +D)t+ 2B + 3C = 0 (∀t > 0).
Las funciones t2, t, 1 son linealmente independientes en el espacio de las funciones reales en (0,+∞) como fácilmente se puede demostrar, en conse- cuencia la igualdad anterior se verifica exclusivamente para los A,B,C,D que satisfacen el sistema lineal homogéneo
 A+B − C = 0 B − C +D = 0 2B + 3C = 0.
Resolviendo obtenemos A = D, B = −3D/5, C = 2D/5, D = D. Enton- ces, para todo D ∈ R se verifica Dx−(3D/5)y+(2D/5)z+Dz = 0. Si D = 0 no obtenemos ningún plano, si D 6= 0, dividiendo entre D y multiplicando por 5 obtenemos el plano
5x− 3y + 2z + 5 = 0.
Podemos por tanto concluir que la curva es plana y el plano que la contiene es π ≡ 5x− 3y + 2z + 5 = 0.