Elimina el parámetro para la curva plana definida por las siguientes ecuaciones paramétricas y describe el gráfico resultante. Sugerencia: Resuelve...

Elimina el parámetro para la curva plana definida por las siguientes ecuaciones paramétricas y describe el gráfico resultante. Sugerencia: Resuelve una de las ecuaciones para t y sustitúyela en la otra ecuación. Hasta ahora hemos visto el método de eliminar el parámetro, asumiendo que conocemos un conjunto de ecuaciones paramétricas que describen una curva plana. ¿Qué pasa si nos gustaría comenzar con la ecuación de una curva y determinar un par de ecuaciones paramétricas para esa curva? Esto es ciertamente posible, y de hecho es posible hacerlo de muchas maneras diferentes para una curva dada. El proceso se conoce como parametrización de una curva. Parametrizando una curva Encuentra dos pares de ecuaciones paramétricas diferentes para representar la gráfica de . Haz clic en el botón para observar la solución: x(t) = 2 + , y(t) = t 3 t−1, 2 ≤ t ≤ 6 y = 2x −32 20 / Encuentra dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de . Sugerencia: Sigue los pasos del ejercicio anterior. Recuerda que tenemos libertad para elegir la parametrización de . 1.2.3 Cicloides y otras curvas paramétricas Imagínate paseando en bicicleta por el país. Los neumáticos permanecen en contacto con la carretera y giran en un patrón predecible. Ahora supongamos que una hormiga muy decidida está cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Así que se cuelga del lado del neumático y consigue un viaje gratis. El camino que esta hormiga recorre por un camino recto se llama cicloide (Figura 1.3). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de bicicleta) de radio a, está dada por las ecuaciones paramétricas: Para ver por qué esto es cierto, considera el camino que toma el centro de la rueda. El centro se mueve a lo largo del eje a una altura constante igual al radio de la rueda. Si el radio es , entonces las coordenadas del centro pueden ser dadas por las ecuaciones y = x +2 2x x(t) x(t) = a(t−sent), y(t) = a(1−cost). x a x(t) = at, y(t) = a 21 / para cualquier valor de . A continuación, considera la hormiga, que gira alrededor del centro a lo largo de un camino circular. Si la bicicleta se mueve de izquierda a derecha, las ruedas giran en el sentido de las agujas del reloj. Figura 1.3. Una rueda que recorre una carretera sin resbalarse; el punto en el borde de la rueda traza un cicloide. Una posible parametrización del movimiento circular de la hormiga (en relación con el centro de la rueda) está dada por (El signo negativo es necesario para invertir la orientación de la curva. Si el signo negativo no estuviera allí, tendríamos que imaginar la rueda girando en sentido contrario a las agujas del reloj). Sumar estas ecuaciones juntas da las ecuaciones para la cicloide. Este tipo de curva recibió el nombre de "Helena de los geométras" 1. Pese a que fue Mersenne, en 1615, quien la define como cicloide, su estudio fue de mucho interés para Galileo, Torricelli, Fermat, Descartes, Huygens y Pascal (Ibid). t x(t) = −asent, y(t) = −acost. x(t) = a(t−sent), y(t) = a(1−cost). Véase en Carrillo & Llamas, el trazado de algunas curvas (Revista Suma, 1999).1 22