Suponha que a duração de vida (em horas) de uma certa válvula seja uma variável aleatória cont́ınua com f.d.p dada por f(x) = 100/x2 para x > ...

a) Para calcular a probabilidade de que uma válvula dure menos de 200 horas, dado que ela ainda está funcionando após 150 horas, podemos usar o Teorema de Bayes. Temos: P(X < 200 | X > 150) = P(X < 200 e X > 150) / P(X > 150) A probabilidade de que a válvula dure menos de 200 horas e ainda esteja funcionando após 150 horas é dada por: P(X < 200 e X > 150) = ∫150^200 (100/x^2) dx Resolvendo a integral, temos: P(X < 200 e X > 150) = 0,2236 A probabilidade de que a válvula ainda esteja funcionando após 150 horas é dada por: P(X > 150) = ∫150^∞ (100/x^2) dx Resolvendo a integral, temos: P(X > 150) = 0,2236 Substituindo na fórmula do Teorema de Bayes, temos: P(X < 200 | X > 150) = 0,2236 / 0,2236 = 1 Portanto, a probabilidade de que a válvula dure menos de 200 horas, dado que ela ainda está funcionando após 150 horas, é de 100%. b) Para calcular a probabilidade de que exatamente uma das três válvulas tenha que ser substituída após 150 horas de funcionamento, podemos usar a distribuição binomial. Temos: P(X = 1) = C(3,1) * P^1 * (1-P)^2 Onde P é a probabilidade de que uma válvula precise ser substituída após 150 horas de funcionamento. Para calcular P, podemos usar o resultado do item a): P = 1 - P(X < 150) = 1 - ∫100^150 (100/x^2) dx = 0,7764 Substituindo na fórmula da distribuição binomial, temos: P(X = 1) = C(3,1) * 0,7764^1 * (1-0,7764)^2 = 0,4545 Portanto, a probabilidade de que exatamente uma das três válvulas tenha que ser substituída após 150 horas de funcionamento é de 45,45%. c) Para calcular o número máximo de válvulas que podem ser colocadas em um conjunto para que exista uma probabilidade superior a 0,5 de que todas estejam funcionando após 150 horas de serviço, podemos usar a distribuição binomial novamente. Temos: P(X = 0) = (1-P)^n > 0,5 Onde P é a probabilidade de que uma válvula precise ser substituída após 150 horas de funcionamento e n é o número de válvulas no conjunto. Resolvendo a desigualdade, temos: (1-P)^n > 0,5 n > log(0,5) / log(1-P) Substituindo P = 0,7764 (resultado do item a)), temos: n > log(0,5) / log(1-0,7764) = 4,17 Portanto, o número máximo de válvulas que podem ser colocadas em um conjunto para que exista uma probabilidade superior a 0,5 de que todas estejam funcionando após 150 horas de serviço é de 5.