Calcule os limites abaixo. Justifique suas respostas. (a) limx→a √x−√a / 3√x− 3√a (b) limx→0 tg(3x) / tg(5x) (c) limx→1 √x−1 / 2x+3−√5 (d) limx→0 (...

(a) Para calcular esse limite, podemos utilizar a técnica de racionalização. Multiplicando o numerador e o denominador por √x + √a, temos: limx→a √x−√a / 3√x− 3√a = limx→a (√x−√a)(√x+√a) / 3(√x−√a)(√x+√a) = limx→a x - a / 3(x - a) = 1/3 (b) Podemos utilizar a regra de L'Hôpital para calcular esse limite. Derivando o numerador e o denominador, temos: limx→0 tg(3x) / tg(5x) = limx→0 3sec²(3x) / 5sec²(5x) = 3/5 (c) Podemos multiplicar o numerador e o denominador por 2x+3+√5 para racionalizar o denominador. Temos: limx→1 √x−1 / 2x+3−√5 = limx→1 (√x−1)(2x+3+√5) / (2x+3+√5)(2x+3−√5) = limx→1 (2x+3+√5) / (2x+3−√5)(√x+1) = (2+√5) / 2 (d) Podemos utilizar a regra de L'Hôpital para calcular esse limite. Derivando o numerador e o denominador, temos: limx→0 (x^4)sen(1/x^4) = limx→0 4x^3sen(1/x^4)cos(1/x^4) / 4x^3 = limx→0 sen(1/x^4)cos(1/x^4) = 0 Justificativa: Utilizamos técnicas de racionalização, regra de L'Hôpital e propriedades de limites para calcular os limites e chegamos às respostas apresentadas acima.