O comprimento L da curva que é gráfico de y = f(x), a 6 x 6 b, é dado pela fórmula L = ∫b a √1 + [f ′(x)]2 dx. Calcule L se f(x) = ∫x1√t3 − 1 d...

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f(x): f(x) = ∫x1√t³ − 1 dt Aplicando a regra da cadeia, temos: f'(x) = (√(x³ - 1))' * (x¹)' - (√(1³ - 1)) * (1)' f'(x) = (1/2)*(x³ - 1)^(-1/2) * 3x² f'(x) = (3x²) / (2√(x³ - 1)) Agora, podemos calcular o comprimento L da curva: L = ∫b a √1 + [f ′(x)]² dx L = ∫4 1 √(1 + [(3x²) / (2√(x³ - 1))]²) dx L = ∫4 1 √(1 + 9x^4 / 4(x³ - 1)) dx L = ∫4 1 √(4x^7 - 4x^3 + 9x^4 + 4) / (4x³ - 4x) dx L = ∫4 1 √(4x^7 - 4x^3 + 9x^4 + 4) / (4x(x² - 1)) dx L = ∫4 1 √(4x^4 / (x² - 1) + 9x^2 / (x² - 1) + 4 / (x² - 1)) dx L = ∫4 1 √(4(x² + 1) / (x² - 1)) dx Fazendo a substituição trigonométrica x = sec(t), temos: dx = sec(t) * tan(t) dt L = ∫arccos(1/4) arccos(1) √(4(sec²(t) + 1) / (sec²(t) - 1)) sec(t) * tan(t) dt L = ∫0 π/3 √(4tan²(t) + 4) dt L = ∫0 π/3 2√(tan²(t) + 1) dt Fazendo a substituição trigonométrica tan(t) = u, temos: dt = du / (1 + u²) L = ∫0 1 2√(u² + 1) du L = [u√(u² + 1) + ln(u + √(u² + 1))]0 1 L = √2 + ln(1 + √2) - ln(1) L = √2 + ln(1 + √2) Portanto, o comprimento L da curva é √2 + ln(1 + √2).