Q4. Seja f(x) = − x4 / (x4 − 4). (a) (1 ponto) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f, e os seus pontos de máximo/mı́nimo. (b) ...

(a) Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f, precisamos analisar o sinal da sua derivada f'(x). Temos que f'(x) = 16x³ / (x⁴ - 4)². Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: f'(x) = 0 ⇒ x = 0. Podemos notar que a função não possui outros pontos críticos, pois o denominador nunca é zero. Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelo ponto crítico x = 0 e pelos pontos de descontinuidade x = ±√2. Temos que f'(x) > 0 se x > 0 com x ≠ √2 e f'(x) < 0 se x < 0 com x ≠ −√2. Portanto, f é crescente em (0, √2) ∩ (√2, +∞) e decrescente em (−∞, −√2) ∩ (−√2, 0). O ponto crítico x = 0 é um ponto de mínimo local. (b) Para determinar os intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, precisamos analisar o sinal da segunda derivada f''(x). Temos que f''(x) = −16x²(5x⁴ + 12) / (x⁴ − 4)⁴. Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero: f''(x) = 0 ⇒ x = ±√(2√5 / 5) ou x = ±√(−2√5 / 5). Podemos notar que a função não possui pontos de inflexão, pois os pontos encontrados não pertencem ao domínio da função. Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada em cada intervalo determinado pelos pontos de descontinuidade x = ±√2. Temos que f''(x) < 0 se x < −√2 ou x > √2, e f''(x) > 0 se −√2 < x < √2. Portanto, f é côncava para baixo em (−∞, −√2) ∩ (√2, ∞) e côncava para cima em (−√2, √2). (c) Para encontrar as assíntotas horizontais e verticais de f, precisamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de infinito ou de pontos de descontinuidade. Temos que lim x → ±∞ f(x) = −1, portanto y = −1 é uma assíntota horizontal de f. Além disso, temos que lim x → ±√2 f(x) = ±∞, portanto x = ±√2 são assíntotas verticais de f. (d) Para encontrar se existe solução para a equação f(x) = α, precisamos analisar o comportamento da função em relação a α. Temos que −x⁴ / (x⁴ − 4) = α ⇔ x = ±4√(4α / (1 + α)). Podemos notar que a equação tem solução se, e somente se, 0 < α < 1. (e) O gráfico de f possui um ponto de mínimo local em x = 0, e é crescente em (0, √2) ∩ (√2, +∞) e decrescente em (−∞, −√2) ∩ (−√2, 0). Além disso, f é côncava para baixo em (−∞, −√2) ∩ (√2, ∞) e côncava para cima em (−√2, √2). As assíntotas verticais são x = ±√2 e a assíntota horizontal é y = −1. Podemos esboçar o gráfico de f usando essas informações.