Exercício 3: a) Usando a definição de função decrescente, mostre que a função xh1)(  é decrescente no intervalo ),0(  . b) Usando a definição de...

a) Para mostrar que a função xh1)(  é decrescente no intervalo ),0( , precisamos mostrar que para quaisquer valores de x e y pertencentes a esse intervalo, se x < y, então h(x) > h(y). Temos que h(x) = x/(1+x) e h(y) = y/(1+y). Assim, x < y implica que 1+x < 1+y, o que por sua vez implica que 1/(1+x) > 1/(1+y). Logo, h(x) = x/(1+x) > y/(1+x) > y/(1+y) = h(y). Portanto, a função xh1)(  é decrescente no intervalo ),0( . b) Para mostrar que a função xh1)(  é decrescente no intervalo )0,( , precisamos mostrar que para quaisquer valores de x e y pertencentes a esse intervalo, se x < y, então h(x) > h(y). Temos que h(x) = x/(1+x) e h(y) = y/(1+y). Assim, x < y implica que 1+x < 1+y, o que por sua vez implica que 1/(1+x) > 1/(1+y). Logo, h(x) = x/(1+x) > y/(1+x) > y/(1+y) = h(y). Portanto, a função xh1)(  é decrescente no intervalo )0,( . c) O domínio da função xh1)(  é ),0()0,( . Como a função é decrescente nos intervalos ),0(  e )0,( , e não há outros intervalos no domínio, podemos concluir que a função é decrescente em todo o seu domínio.