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Um sistema completo de resíduos é um conjunto que abrange todos os diferentes restos possíveis resultantes das divisões por um número específico, expressos por meio de números.

Determine quais dos conjuntos são sistemas completos de restos módulo 4:

A )

{0, 4, 8, 12}.

B )

{-5, 0, 6, 22}.

C )

{-2, -1, 0, 1}.

D )

{-4, 0, 5, 22}.

A )

{0, 4, 8, 12}.
B )

{-5, 0, 6, 22}.
C )

{-2, -1, 0, 1}.
D )

{-4, 0, 5, 22}.

Questões para Estudantes

há 3 anos

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há 3 anos

6 pág.

prova final resolvida teoria dos numeros

UNIDAVI

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ano passado

Para determinar quais conjuntos são sistemas completos de restos módulo 4, precisamos identificar os restos possíveis quando dividimos números por 4. Os restos possíveis são: 0, 1, 2 e 3. Agora, vamos analisar cada conjunto: A) {0, 4, 8, 12} - Os restos módulo 4 são: 0 (4 % 4 = 0), 0 (8 % 4 = 0), 0 (12 % 4 = 0). - Este conjunto contém apenas o resto 0. Não é completo. B) {-5, 0, 6, 22} - Os restos módulo 4 são: 3 (-5 % 4 = 3), 0 (0 % 4 = 0), 2 (6 % 4 = 2), 2 (22 % 4 = 2). - Este conjunto contém os restos 0, 2 e 3, mas falta o 1. Não é completo. C) {-2, -1, 0, 1} - Os restos módulo 4 são: 2 (-2 % 4 = 2), 3 (-1 % 4 = 3), 0 (0 % 4 = 0), 1 (1 % 4 = 1). - Este conjunto contém todos os restos: 0, 1, 2 e 3. É completo. D) {-4, 0, 5, 22} - Os restos módulo 4 são: 0 (-4 % 4 = 0), 0 (0 % 4 = 0), 1 (5 % 4 = 1), 2 (22 % 4 = 2). - Este conjunto contém os restos 0, 1 e 2, mas falta o 3. Não é completo. Portanto, a única opção que é um sistema completo de restos módulo 4 é: C) {-2, -1, 0, 1}.

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há 3 anos

Um sistema completo de resíduos módulo 4 é um conjunto que contém todos os diferentes restos possíveis resultantes das divisões por 4. Analisando as opções apresentadas, temos: A) {0, 4, 8, 12} - É um sistema completo de resíduos módulo 4, pois contém todos os restos possíveis: 0, 1, 2 e 3. B) {-5, 0, 6, 22} - Não é um sistema completo de resíduos módulo 4, pois não contém o resto 1. C) {-2, -1, 0, 1} - Não é um sistema completo de resíduos módulo 4, pois não contém os restos 2 e 3. D) {-4, 0, 5, 22} - Não é um sistema completo de resíduos módulo 4, pois não contém o resto 1. Portanto, a alternativa correta é a letra A) {0, 4, 8, 12}.

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Podemos garantir que o polinômio P(n) = n² + n + 41 fornece apenas números primos? Observe a tabela a seguir, na qual estão listados alguns casos particulares e assinale a alternativa CORRETA:

Valores aplicados em P(n)

n P(n) n P(n)
1 43 8 113
2 47 9 131
3 53 10 151
4 61 11 173
5 71 12 197
6 83 13 223
7 97 14 251

A )

O polinômio não funciona para n = 14.

B )

A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n.

C )

A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero.

D )

Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo.

A )

O polinômio não funciona para n = 14.
B )

A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n.
C )

A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero.
D )

Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo.

Para que uma equação diofantina linear de segunda ordem tenha solução, obrigatoriamente, o MDC entre os coeficientes precisa ser um divisor do termo independente da equação. Se calcularmos o MDC dos coeficientes da equação 11x + 30y = 31, encontramos 1 como resultado, sendo então possível determinar a solução da equação.

Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução geral:

A )

x = 589 + 30t e y = 217 - 11t.

B )

x = - 589 + 30t e y = 217 - 11t.

A )

x = 589 + 30t e y = 217 - 11t.
B )

x = - 589 + 30t e y = 217 - 11t.
C )

x = 217 + 30t e y = - 589 - 11t.
D )

x = - 589 + 30t e y = 217 + 11t.

A noção de congruência foi desenvolvida por Gauss, cuja definição nos diz que "dois números inteiros a e b são congruentes módulo m (m > 0) se os restos de suas divisões euclidianas por m são iguais". Considerando as congruência módulo m, analise as sentenças a seguir:

I. 21 ≡ 15 (mod 6).
II. 715 ≡ 411 (mod 10).
III. -3 ≡ -8 (mod 5).
IV. 24 ≡ 3 (mod 7).

Assinale a alternativa que apresenta, apenas congruências CORRETAS:

A )

As sentenças I e II estão corretas.

B )

As sentenças II e III estão corretas.

C )

As sentenças II e IV estão corretas.

D )

As sentenças I, III e IV estão corretas.

A )

As sentenças I e II estão corretas.
B )

As sentenças II e III estão corretas.
C )

As sentenças II e IV estão corretas.
D )

As sentenças I, III e IV estão corretas.

O conceito de congruência possui e possibilita resolver diversos problemas do nosso dia a dia, como em código de barras, CPF, criptografia, entre outros. Podemos pensar em um caso de congruência módulo 24 ao relacionarmos com as horas de um dia.

Então, se agora são 9 horas, daqui 226 horas serão:

A )

Serão 9 dias e 10 horas a partir das 9 horas iniciais.

B )

Serão 10 dias e 17 horas a partir das 9 horas iniciais.

C )

Serão 9 dias e 12 horas a partir das 9 horas iniciais.

D )

Serão 8 dias e 23 horas a partir das 9 horas iniciais.

A )

Serão 9 dias e 10 horas a partir das 9 horas iniciais.
B )

Serão 10 dias e 17 horas a partir das 9 horas iniciais.
C )

Serão 9 dias e 12 horas a partir das 9 horas iniciais.
D )

Serão 8 dias e 23 horas a partir das 9 horas iniciais.

Os sistemas decimal, hexadecimal, octal e binário são os sistemas de numeração mais comuns, sob o ponto de vista computacional (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2018). Contudo o sistema octal deu lugar ao sistema hexadecimal, devido às atuais necessidades dos recursos computacionais. De acordo com as características do sistema octal, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:

( ) Quantidade de símbolos admissíveis: 8.
( ) Símbolos admissíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
( ) A conversão do valor 5461 na base 8 para a base decimal resulta em 2863.

Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
FONTE: TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2018.

A )

V - F - V.
B )

F - V - F.
C )

F - F - V.
D )

V - F - F.

O máximo divisor comum pode ser calculado aplicando o algoritmo das divisões sucessivas, demonstrado por Euclides. Utilize esse método para determinar o MDC (76, 174) e encontrar r, s pertencentes ao inteiros

Assinale a alternativa CORRETA:

76 + s · 174 e analise as sentenças a seguir:

I- Aplicamos o algoritmo da divisão sucessivamente até 10 = 5 · 2 + 0, pois aqui obtemos o resto zero.
II- Para encontrarmos r e s, precisamos realizar as substituições. Iniciamos o processo na penúltima linha até chegarmos na primeira.
III- O MDC (76, 174) = 4.
IV- Os valores de r e s são, respectivamente, 16 e 7.

A )

Somente a sentença IV está correta.

B )

As sentenças I e III estão corretas.

C )

As sentenças I, II e IV estão corretas.

D )

Somente a sentença II está correta.

I- Aplicamos o algoritmo da divisão sucessivamente até 10 = 5 · 2 + 0, pois aqui obtemos o resto zero.
II- Para encontrarmos r e s, precisamos realizar as substituições. Iniciamos o processo na penúltima linha até chegarmos na primeira.
III- O MDC (76, 174) = 4.
IV- Os valores de r e s são, respectivamente, 16 e 7.
A) Somente a sentença IV está correta.
B) As sentenças I e III estão corretas.
C) As sentenças I, II e IV estão corretas.
D) Somente a sentença II está correta.

Assinale a alternativa CORRETA:

Uma aplicação importante dos números primos e compostos, abordando a sua decomposição, é a determinação da quantidade de divisores positivos de um número natural n. Pela definição, n= ± p1 a1 · … · pr ar, sendo p1, … ,· pr primos e a1,…, ar. naturais, temos que d(n) = (a1+1) · (a2+1) · … · (ar+1).

Analisando a decomposição do número 9216, com base nas informações acima, analise as sentenças a seguir:

I - O número de divisores naturais de 9216 será dado por: (10+1)·(2 + 1).
II - O número 9216 tem exatamente 30 divisores.
III - Os fatores do produto 210 · 32 são relativamente primos dois a dois.

A )

Somente a sentença II está correta.

B )

Somente a sentença I está correta.

C )

As sentenças I e III estão corretas.

D )

As sentenças I e II estão corretas.

I - O número de divisores naturais de 9216 será dado por: (10+1)·(2 + 1).
II - O número 9216 tem exatamente 30 divisores.
III - Os fatores do produto 210 · 32 são relativamente primos dois a dois.
A) Somente a sentença II está correta.
B) Somente a sentença I está correta.
C) As sentenças I e III estão corretas.
D) As sentenças I e II estão corretas.

Assinale a alternativa CORRETA:

O algoritmo de divisão, também conhecido por algoritmo de Euclides, possibilita pensarmos da seguinte maneira: a = b . q + r (se a divisão for exata, não temos o resto). Quando b é divisor de a, podemos expressar esse fato de várias formas. Com base nas definições de divisibilidade e considerando uma divisão exata, analise as sentenças a seguir:

I - a é divisível por b.
II - b é um divisor de a.
III - a não é um múltiplo de b.
IV - A divisão de a por b tem resto 0.

Assinale a alternativa CORRETA:

A )

As sentenças I e III estão corretas.

B )

Somente a sentença III está correta.

C )

Somente a sentença II está correta.

D )

As sentenças I, II e IV estão corretas.

I - a é divisível por b.
II - b é um divisor de a.
III - a não é um múltiplo de b.
IV - A divisão de a por b tem resto 0.
A) As sentenças I e III estão corretas.
B) Somente a sentença III está correta.
C) Somente a sentença II está correta.
D) As sentenças I, II e IV estão corretas.

Assinale a alternativa CORRETA:

A relação de congruência entre dois números pode ser verificada por várias proposições. Uma dessa propriedade diz que, se tivermos uma congruência módulo m, um valor a será congruente a um valor b se, e somente se, m dividir a diferença de b com a. Sendo assim, analise as sentenças a seguir:

I. 17 ≡ 35 (mod 5)
II. 19 ≡ 25 (mod 6)
III. 21 ≡ 84 (mod 4)
IV. 14 ≡ 96 (mod 8)

Assinale a alternativa CORRETA:

A )

Somente a sentença I está correta.

B )

As sentenças I e IV estão corretas.

C )

Somente a sentença II está correta.

D )

As sentenças II e III estão corretas.

I. 17 ≡ 35 (mod 5)
II. 19 ≡ 25 (mod 6)
III. 21 ≡ 84 (mod 4)
IV. 14 ≡ 96 (mod 8)
A) Somente a sentença I está correta.
B) As sentenças I e IV estão corretas.
C) Somente a sentença II está correta.
D) As sentenças II e III estão corretas.

É correto apenas o que se afirma em:

Considerando que, dados os inteiros m e n, o mdc(m, n) é o maior divisor comum, e o mmc(m, n) é o menor múltiplo comum de m e n, avalie as afirmacoes a seguir.

I. O resto da divisão de 7 × 18 - 2 por 7 é 5.
II. Se m = 7 × 22 + 5 e n = 7 × 38 + 6, o resto da divisão de m + n por 7 é 3.
III. O mmc(m, n) é um divisor do mdc(m, n).
IV. mdc(m, n) × mmc(m, n) = m × n.

A )

I e III.

B )

II e III.

C )

I, II e IV

D )

I e IV.

I. O resto da divisão de 7 × 18 - 2 por 7 é 5.
II. Se m = 7 × 22 + 5 e n = 7 × 38 + 6, o resto da divisão de m + n por 7 é 3.
III. O mmc(m, n) é um divisor do mdc(m, n).
IV. mdc(m, n) × mmc(m, n) = m × n.
A) I e III.
B) II e III.
C) I, II e IV
D) I e IV.

Podemos garantir que o polinômio P(n) = n² + n + 41 fornece apenas números primos? Observe a tabela a seguir, na qual estão listados alguns casos particulares e assinale a alternativa CORRETA:

A) O polinômio não funciona para n = 14.
B) A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n.
C) A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero.
D) Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo.

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