Considere a função f(x, y) = x2 + 2y3 − y2 e o domínio D = {(x.y) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 } [object Object] [object Object] [object Object] Algum ...

Para determinar se existe um máximo global para a função f(x, y) = x² + 2y³ - y² no domínio D = {(x,y) ∈ R² | x² + y² ≤ 1, y ≥ 0}, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Calculando o gradiente da função f(x, y) e do restrição g(x, y) = x² + y² - 1 = 0, temos: ∇f(x, y) = (2x, 6y² - 2y) ∇g(x, y) = (2x, 2y) O sistema de equações a ser resolvido é: 2x = λ * 2x 6y² - 2y = λ * 2y x² + y² - 1 = 0 Se λ = 0, temos que 2x = 0 e 6y² - 2y = 0, o que implica em x = y = 0. Mas (0,0) não pertence ao domínio D, pois y ≥ 0. Portanto, λ ≠ 0. Dividindo a segunda equação pela terceira, temos: (3y - 1)/y = λ Como λ ≠ 0, temos que 3y - 1 = 0, o que implica em y = 1/3. Substituindo na terceira equação, temos: x² + (1/3)² - 1 = 0 x² = 8/9 x = ±√(8/9) Portanto, os pontos críticos são: P1 = (√(8/9), 1/3) P2 = (-√(8/9), 1/3) Agora, vamos verificar se algum desses pontos é um máximo global. Para isso, podemos calcular o valor da função f(x, y) nesses pontos: f(√(8/9), 1/3) ≈ 0,768 f(-√(8/9), 1/3) ≈ 0,768 Como f(√(8/9), 1/3) e f(-√(8/9), 1/3) são iguais e maiores ou iguais a f(x, y) para todo (x,y) no domínio D, concluímos que ambos são máximos globais da função f(x, y) no domínio D. Portanto, a alternativa correta é letra A) Verdadeiro.