(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estej...
Matemática
Matematicamente

Question

(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.

(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
(b) É necessário mostrar que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab, levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima.

Ed · Answer

(a) Para provar que tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)), vamos usar as fórmulas para cos(x+y) e sen(x+y):
tg(x-y) = sen(x-y) / cos(x-y)
= (sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)) / (cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y))
= [(sen(x) / cos(x)) - (sen(y) / cos(y))] / [1 + (sen(x) / cos(x)) * (sen(y) / cos(y))]
= (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y))

(b) Para resolver o problema, vamos usar a fórmula tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)). Seja θ o ângulo que o jogador vê a meta. Temos que tg(θ) = a/x e tg(90-θ) = b/x. Usando a fórmula acima, temos:
tg(θ - (90-θ)) = tg(2θ-90) = (tg(θ) - tg(90-θ)) / (1 + tg(θ) * tg(90-θ))
= (a/x - b/x) / (1 + (a/x) * (b/x))
= (a - b) / (x * (a + b))
Para que θ seja máximo, tg(2θ-90) deve ser máximo. Isso ocorre quando 2θ-90 = 45°, ou seja, quando tg(2θ-90) = 1. Substituindo na fórmula acima, temos:
1 = (a - b) / (x * (a + b))
x = √(ab/(a-b))
Como a

(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estej...

Matemática

Outros

Essa pergunta também está no material:

Apostila Provas Profmat

Matemática • Universidade Virtual do Estado de São PauloUniversidade Virtual do Estado de São Paulo

💡 1 Resposta

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

✏️ Responder

Outros materiais

Perguntas relacionadas