Aula 1 - Introdução às Equações Diferenciais - Teoria

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Equações Difereciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 1: Introdução às Equações Diferenciais - Teoria 
 
Equações Diferenciais 
As soluções de muitos problemas que ocorrem na 
engenharia dependem de resoluções de equações 
diferenciais. Chama-se equação diferencial à equação que 
possui as derivadas ou diferenciais de uma ou mais 
variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis 
livres. 
 
Exemplos: 
a) 
3 1
dy
x
dx
 
 
 
b) 2
5
2
7 12 6 x
d y dy
y e
dx dx
  
 
 
c) 3 42
2
5 cos
d y dy
x
dx dx
   
    
  
 
 
d) 
3
z z
x xyz
x y
 
 
 
 
 
Tipo 
A equação será chamada de ordinária se as variáveis 
dependentes forem função de uma única variável livre, 
caso contrário, serão chamadas de equações diferenciais 
parciais. As equações dos exemplos a, b e c anteriores são 
equações diferenciais ordinárias (EDO) e a equação do 
exemplo d é uma equação diferencial parcial (EDP). 
 
Ordem 
Chama-se ordem de uma equação diferencial à 
ordem da derivada de maior ordem. As equações a e d são 
de primeira ordem, já os exemplos b e c são de segunda 
ordem. 
 
Grau 
Grau é o maior expoente da derivada de maior 
ordem. As equações a, b e d são de primeiro grau e o 
exemplo c é do terceiro grau. 
 
Linearidade 
Uma equação diferencial é chamada de linear 
quando pode ser escrita na forma 
 
1
1 1 01
( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d y d y dy
a x a x a x a x y g x
dx dx dx

 
    
 
As equações diferenciais lineares são caracterizadas 
por duas propriedades: 
 
I - A variável dependente y e todas as suas derivadas são 
do primeiro grau; isto é, a potência de cada termo 
envolvendo y é 1. 
 
II - Cada coeficiente depende apenas da variável 
independente x. 
 
Exemplos 
 
0xdy ydx 
 
" 2 ' 0y y y  
 
3 2
3 2
3 2
3 5 x
d y d y dy
x x x y e
dx dx dx
   
 
 
Uma equação que não é linear é chamada de não-linear. 
 
Exemplos 
 
'' 2yy y x 
 
3
2
3
0
d y
y
dx
 
 
 
Soluções 
Qualquer função f definida em algum intervalo I, 
que, quando substituída na equação diferencial, reduz a 
equação a uma identidade, é chamada de solução para a 
equação no intervalo. Uma solução para uma equação 
diferencial que é identicamente nula em um intervalo I é 
em geral referida como solução trivial. Também é 
importante ressaltar que nem toda equação diferencial 
possui solução. 
As soluções das equações são divididas em soluções 
explícitas 
( )y f x
 e implícitas 
( , ) 0G x y 
. Uma dada 
equação diferencial possui infinitas soluções. Uma solução 
para uma equação diferencial que não depende de 
parâmetros arbitrários é chamada de solução particular. 
Uma maneira de se obter uma solução particular é escolher 
valores específicos para os parâmetros na família de 
soluções. Às vezes, uma equação diferencial possui uma 
solução que não pode ser obtida especificando-se os 
parâmetros em uma família de soluções. Tal solução é 
chamada de solução singular. 
Se toda solução para 
( , , ',..., ) 0nF x y y y 
 no 
intervalo I pode ser obtida de 
1( , , ,..., ) 0nG x y c c 
 por 
uma escolha apropriada dos 
ic
, 
0,1,...i n
, dizemos que 
a família a n-parâmetros é uma solução geral, ou completa, 
para a equação diferencial.