24. (Mackenzie) Num paralelepípedo retângulo a soma das medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede Ë91. Se as medidas das arestas estão em ...

Sejam as medidas das arestas do paralelepípedo retângulo em progressão geométrica d, ad e a²d, onde a é a razão da progressão. Temos que a soma das medidas de todas as arestas é 52, então: 4d + 4ad + 4a²d = 52 4d(1 + a + a²) = 52 d(1 + a + a²) = 13 Também sabemos que a diagonal mede Ë91, então: d² + a²d² + a⁴d² = 91² d²(1 + a² + a⁴) = 91² Dividindo a segunda equação pela primeira, temos: d(1 + a + a²) / d²(1 + a² + a⁴) = 13 / 91² Simplificando, temos: 1 / d = 13 / (91²a⁴) Substituindo em d(1 + a + a²) = 13, temos: 13a⁴(1 + a + a²) = 91² Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: a = 1/3 Substituindo em d(1 + a + a²) = 13, temos: d = 1 Então, as medidas das arestas são 1, 1/3 e 1/9. O volume do paralelepípedo é: V = 1 x 1/3 x 1/9 = 1/27 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 27.