Determine a derivada direcional da função f(x,y) =2x2y+5f(x,y) =2x2y+5, na direção do vetor (√32, −12)(32, −12) no ponto (x,y) = (1,1). 2√3−123−1 ...

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x,y) = 2x^2y + 5 \) na direção do vetor \( (\sqrt{3}, -1) \) no ponto \( (x,y) = (1,1) \), utilizamos a fórmula: \[ D_{\vec{v}}f(x,y) = \nabla f \cdot \vec{v} \] Onde \( \nabla f \) é o vetor gradiente de \( f \) e \( \vec{v} \) é o vetor direção. Primeiro, calculamos o gradiente de \( f \): \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4xy \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2 \] Agora, calculamos \( \nabla f \) no ponto \( (1,1) \): \[ \nabla f(1,1) = (4(1)(1), 2(1)^2) = (4, 2) \] Em seguida, calculamos o produto escalar entre \( \nabla f(1,1) \) e \( \vec{v} = (\sqrt{3}, -1) \): \[ D_{\vec{v}}f(1,1) = \nabla f(1,1) \cdot \vec{v} = (4, 2) \cdot (\sqrt{3}, -1) = 4\sqrt{3} - 2 \] Portanto, a derivada direcional da função \( f(x,y) = 2x^2y + 5 \) na direção do vetor \( (\sqrt{3}, -1) \) no ponto \( (1,1) \) é \( 4\sqrt{3} - 2 \).