Considere as operações x * y = x + y - 2 e x Δ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Z. Para que valor de a, (Z, * , Δ) é um anel? a = 1 a = 3 a = 2 a = 6...

Para que (Z, * , Δ) seja um anel, a operação Δ deve ser distributiva em relação à operação *. Isso significa que para qualquer x, y e z em Z, a equação (x Δ y) * z = (x * z) Δ (y * z) deve ser satisfeita. Vamos analisar cada alternativa: a = 1: (x Δ y) * z = xy - 2x - 2y + 1 * z = xz + yz - 2x - 2y + z - 2 ≠ (x + z - 2) Δ (y + z - 2) = (x + z - 2)(y + z - 2) - 2(x + z - 2) - 2(y + z - 2) + 1 = xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z + 4 - 2x - 2z - 2y + 4 + 1 = xy + xz + yz - 4x - 4y - 4z + 5 ≠ xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z + 1, então a = 1 não satisfaz a condição. a = 3: (x Δ y) * z = xy - 2x - 2y + 3 * z = xz + yz - 2x - 2y + 3z - 2 ≠ (x + z - 2) Δ (y + z - 2) = (x + z - 2)(y + z - 2) - 2(x + z - 2) - 2(y + z - 2) + 3 = xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z + 4 - 2x - 2z - 2y + 4 + 3 = xy + xz + yz - 4x - 4y - 4z + 11 ≠ xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z + 3, então a = 3 também não satisfaz a condição. a = 2: (x Δ y) * z = xy - 2x - 2y + 2 * z = xz + yz - 2x - 2y + 2z - 2 = (x + z - 2) Δ (y + z - 2) = (x + z - 2)(y + z - 2) - 2(x + z - 2) - 2(y + z - 2) + 2 = xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z + 4 - 2x - 2z - 2y + 4 + 2 = xy + xz + yz - 4x - 4y - 4z + 10 = xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z + 2, então a = 2 satisfaz a condição. a = 6: (x Δ y) * z = xy - 2x - 2y + 6 * z = xz + yz - 2x - 2y + 6z - 2 ≠ (x + z - 2) Δ (y + z - 2) = (x + z - 2)(y + z - 2) - 2(x + z - 2) - 2(y + z - 2) + 6 = xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z + 4 - 2x - 2z - 2y + 4 + 6 = xy + xz + yz - 4x - 4y - 4z + 14 ≠ xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z + 6, então a = 6 também não satisfaz a condição. Portanto, a única alternativa que satisfaz a condição para que (Z, * , Δ) seja um anel é a = 2.