Determine o número de n-multisubconjuntos de {1, 2, 3, 4} nos quais 1 aparece no máximo uma vez e 2 aparece no mínimo uma vez.

Para determinar o número de n-multisubconjuntos de {1, 2, 3, 4} nos quais 1 aparece no máximo uma vez e 2 aparece no mínimo uma vez, podemos considerar os casos em que 1 aparece no máximo uma vez e 2 aparece no mínimo uma vez separadamente e depois aplicar o Princípio da Adição para somar esses casos. Caso 1: 1 aparece no máximo uma vez Nesse caso, podemos ter 0 ou 1 ocorrência de 1. Se 1 não estiver presente, temos 3 opções para cada um dos n elementos (2, 3, 4), totalizando 3^n possibilidades. Se 1 estiver presente, temos 3 opções para os outros elementos (2, 3, 4) e 1 opção para 1, totalizando 3 * 1 * 3^(n-1) possibilidades. Caso 2: 2 aparece no mínimo uma vez Nesse caso, 2 deve estar presente pelo menos uma vez. Podemos ter 1, 2, 3 ou 4 ocorrências de 2. Se tivermos 1 ocorrência de 2, temos n opções para a posição em que 2 aparece e 3 opções para os outros elementos, totalizando n * 3^(n-1) possibilidades. Se tivermos 2 ocorrências de 2, temos C(n, 2) * 3^(n-2) possibilidades. Se tivermos 3 ocorrências de 2, temos C(n, 3) * 3^(n-3) possibilidades. Se tivermos 4 ocorrências de 2, temos C(n, 4) * 3^(n-4) possibilidades. Por fim, somamos os casos do Caso 1 e do Caso 2 para obter o número total de n-multisubconjuntos que satisfazem as condições dadas.