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Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que f(x) = xg(x), ∀x ∈ R. Prove que se g é contínua em x = 0, então f é diferenciável em x = 0 e f ′(0) = g(0).
(b) Sendo h : R → R definida por h(x) = x |x|, determine h′(0).
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Exercicios da Calculo I
31 pág.

Exercicios da Calculo I

ÁREA1

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Para provar que a função f é diferenciável em x = 0 e que f'(0) = g(0), podemos utilizar a definição de derivada. Dada a função f(x) = xg(x), podemos escrever a definição de derivada em x = 0 da seguinte forma: f'(0) = lim (h -> 0) [f(0 + h) - f(0)] / h f'(0) = lim (h -> 0) [0 + h*g(h) - 0*g(0)] / h f'(0) = lim (h -> 0) [h*g(h)] / h f'(0) = lim (h -> 0) g(h) Como g é contínua em x = 0, temos que lim (h -> 0) g(h) = g(0). Portanto, f'(0) = g(0), o que prova que f é diferenciável em x = 0 e f'(0) = g(0). Para determinar h'(0), podemos utilizar a definição de derivada novamente. Dada a função h(x) = x|x|, podemos escrever a definição de derivada em x = 0 da seguinte forma: h'(0) = lim (h -> 0) [h(0 + h) - h(0)] / h h'(0) = lim (h -> 0) [h|h| - 0] / h h'(0) = lim (h -> 0) [h^2 / h] h'(0) = lim (h -> 0) h h'(0) = 0 Portanto, h'(0) = 0.

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Resolva as equações e inequações seguintes:
(a) ex = e−x;
(b) 2x ≤ 1
2;
(c) 4x − 3 · 2x + 2 ≥ 0;
(d) x2ex+1 − x ex−1 < 0;
(e) 1− 23x−1
3x2−2 − 9 ≤ 0;

Resolva as equações e inequações seguintes:
(a) 2 lnx− ln(x− 1) = 2 ln 2;
(b) x log3 x− x ≤ 0;
(c) x log2(x + 1) > x;
(d) (x2 − 1) log 1
4
x ≥ 0;

Considere as funções f e g definidas, respectivamente, por f(x) = √x(x4 +3) e g(x) = 12√x. Determine, caso exista, a ∈ R por forma que as tangentes aos gráficos de f e g no ponto x = a sejam paralelas.

Determine o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico da função f(x) = −x2 +3x no ponto x = 4 com o eixo das abscissas.

Considere a função f(x) = 1/x + ln |x− 3|
(a) Indique o seu domínio.
(b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

Em cada uma das alíneas que se seguem, determine a função derivada da função considerada.
(a) f(x) = (x− 1)(x2 + 3x);
(b) f(x) = 3√(2x− 1)2;
(c) f(x) = cosx/(1− sinx);
(d) f(x) = x2ex^2;
(e) f(x) = arcsen√x;
(f) f(x) = 3tgx;
(g) f(x) = log3(tanx);
(h) f(x) = ex^3√(x−1);
(i) f(x) = cos(log2(x^2));
(j) f(x) = (1− x^2) lnx;
(k) f(x) = (1 + x^2) arctgx;
(l) f(x) = x^2 − ln(x^2)/x;
(m) f(x) = arcsen(1/x^2);

Considere a função f definida em R+0 por f(x) = ln(1 + x) − x. Mostre que f é decrescente e diga, justificando se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: f(x) < 0, para todo o x ∈ R+.

1. Diga, justificando, se as seguintes funções são integráveis.
(a) f : [0, 4] → R definida por f(x) = cos(x^2 - 2x).
(b) f : [0, π/2] → R definida por f(x) = { tanx se x ∈ [0, π/2[ 2 se x = π/2
(c) f : [−2, 1] → R definida por f(x) = { x+ 1 se x ∈ [−2, 0[ 2 se x = 0 x se x ∈]0, 1]

2. Seja F a função definida por F(x) = ∫ x^0 f(t) dt, sendo a função f definida por f(t) = { 2t^2 + 1 se t ≤ 0 sin(t)/t se t > 0 Verifique que F ′(x) = f(x), para todo o x ∈ R.

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