1. Diga, justificando, se as seguintes funções são integráveis.
(a) f : [0, 4] → R definida por f(x) = cos(x^2 - 2x).
(b) f : [0, π/2] → R definida por f(x) = { tanx se x ∈ [0, π/2[ 2 se x = π/2
(c) f : [−2, 1] → R definida por f(x) = { x+ 1 se x ∈ [−2, 0[ 2 se x = 0 x se x ∈]0, 1]

Question

1. Diga, justificando, se as seguintes funções são integráveis.
(a) f : [0, 4] → R definida por f(x) = cos(x^2 - 2x).
(b) f : [0, π/2] → R definida...

Ed · Answer

Para determinar se uma função é integrável em um intervalo, é necessário verificar se ela é limitada e contínua nesse intervalo. Vamos analisar cada função:

(a) f(x) = cos(x^2 - 2x) no intervalo [0, 4]:
A função cos(x^2 - 2x) é contínua em todos os números reais, portanto é contínua no intervalo [0, 4]. Além disso, a função cos(x^2 - 2x) é limitada em [0, 4]. Portanto, a função é integrável nesse intervalo.

(b) f(x) = { tanx se x ∈ [0, π/2[ 2 se x = π/2} no intervalo [0, π/2]:
A função é descontínua em x = π/2, pois tan(π/2) é indefinido. Portanto, a função não é contínua em [0, π/2] e, consequentemente, não é integrável nesse intervalo.

(c) f(x) = { x+ 1 se x ∈ [−2, 0[ 2 se x = 0 x se x ∈]0, 1] no intervalo [−2, 1]:
A função é contínua em todos os pontos do intervalo [−2, 1]. Além disso, a função é limitada nesse intervalo. Portanto, a função é integrável em [−2, 1].

Portanto, a função integrável nos respectivos intervalos é:
(a) f(x) = cos(x^2 - 2x) no intervalo [0, 4]
(c) f(x) = { x+ 1 se x ∈ [−2, 0[ 2 se x = 0 x se x ∈]0, 1] no intervalo [−2, 1]

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Resolva as equações e inequações seguintes:
(a) ex = e−x;
(b) 2x ≤ 1
2;
(c) 4x − 3 · 2x + 2 ≥ 0;
(d) x2ex+1 − x ex−1 < 0;
(e) 1− 23x−1
3x2−2 − 9 ≤ 0;

Resolva as equações e inequações seguintes:
(a) 2 lnx− ln(x− 1) = 2 ln 2;
(b) x log3 x− x ≤ 0;
(c) x log2(x + 1) > x;
(d) (x2 − 1) log 1
4
x ≥ 0;

Considere as funções f e g definidas, respectivamente, por f(x) = √x(x4 +3) e g(x) = 12√x. Determine, caso exista, a ∈ R por forma que as tangentes aos gráficos de f e g no ponto x = a sejam paralelas.

Determine o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico da função f(x) = −x2 +3x no ponto x = 4 com o eixo das abscissas.

Considere a função f(x) = 1/x + ln |x− 3|
(a) Indique o seu domínio.
(b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que f(x) = xg(x), ∀x ∈ R. Prove que se g é contínua em x = 0, então f é diferenciável em x = 0 e f ′(0) = g(0).
(b) Sendo h : R → R definida por h(x) = x |x|, determine h′(0).

Considere a função f definida em R+0 por f(x) = ln(1 + x) − x. Mostre que f é decrescente e diga, justificando se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: f(x) < 0, para todo o x ∈ R+.

2. Seja F a função definida por F(x) = ∫ x^0 f(t) dt, sendo a função f definida por f(t) = { 2t^2 + 1 se t ≤ 0 sin(t)/t se t > 0 Verifique que F ′(x) = f(x), para todo o x ∈ R.

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Resolva as equações e inequações seguintes:(a) ex = e−x;(b) 2x ≤ 12;(c) 4x − 3 · 2x + 2 ≥ 0;(d) x2ex+1 − x ex−1 < 0;(e) 1− 23x−13x2−2 − 9 ≤ 0;

Resolva as equações e inequações seguintes:(a) 2 lnx− ln(x− 1) = 2 ln 2;(b) x log3 x− x ≤ 0;(c) x log2(x + 1) > x;(d) (x2 − 1) log 14x ≥ 0;

Considere as funções f e g definidas, respectivamente, por f(x) = √x(x4 +3) e g(x) = 12√x. Determine, caso exista, a ∈ R por forma que as tangentes aos gráficos de f e g no ponto x = a sejam paralelas.

Determine o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico da função f(x) = −x2 +3x no ponto x = 4 com o eixo das abscissas.

Considere a função f(x) = 1/x + ln |x− 3|(a) Indique o seu domínio.(b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que f(x) = xg(x), ∀x ∈ R. Prove que se g é contínua em x = 0, então f é diferenciável em x = 0 e f ′(0) = g(0).(b) Sendo h : R → R definida por h(x) = x |x|, determine h′(0).

Considere a função f definida em R+0 por f(x) = ln(1 + x) − x. Mostre que f é decrescente e diga, justificando se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: f(x) < 0, para todo o x ∈ R+.

2. Seja F a função definida por F(x) = ∫ x^0 f(t) dt, sendo a função f definida por f(t) = { 2t^2 + 1 se t ≤ 0 sin(t)/t se t > 0 Verifique que F ′(x) = f(x), para todo o x ∈ R.

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(a) ex = e−x;
(b) 2x ≤ 1
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(d) x2ex+1 − x ex−1 < 0;
(e) 1− 23x−1
3x2−2 − 9 ≤ 0;

Resolva as equações e inequações seguintes:
(a) 2 lnx− ln(x− 1) = 2 ln 2;
(b) x log3 x− x ≤ 0;
(c) x log2(x + 1) > x;
(d) (x2 − 1) log 1
4
x ≥ 0;

Considere a função f(x) = 1/x + ln |x− 3|
(a) Indique o seu domínio.
(b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que f(x) = xg(x), ∀x ∈ R. Prove que se g é contínua em x = 0, então f é diferenciável em x = 0 e f ′(0) = g(0).
(b) Sendo h : R → R definida por h(x) = x |x|, determine h′(0).