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Considere a função f definida em R+0 por f(x) = ln(1 + x) − x. Mostre que f é decrescente e diga, justificando se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: f(x) < 0, para todo o x ∈ R+.

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Para mostrar que a função f(x) = ln(1 + x) - x é decrescente, podemos calcular a sua derivada e verificar se é sempre negativa. A derivada de f em relação a x é dada por f'(x) = 1/(1 + x) - 1. Para provar que f é decrescente, precisamos mostrar que f'(x) < 0 para todo x em R+0. Calculando f'(x) = 1/(1 + x) - 1 < 0, obtemos 1/(1 + x) < 1. Isolando x, temos 1 < 1 + x, o que é verdadeiro para todo x em R+0. Portanto, a função f é decrescente nesse intervalo. Quanto à afirmação f(x) < 0 para todo x em R+, podemos observar que f(0) = ln(1) - 0 = 0, o que já mostra que a afirmação é falsa, pois f(0) = 0 e não é menor que zero.

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Resolva as equações e inequações seguintes:
(a) ex = e−x;
(b) 2x ≤ 1
2;
(c) 4x − 3 · 2x + 2 ≥ 0;
(d) x2ex+1 − x ex−1 < 0;
(e) 1− 23x−1
3x2−2 − 9 ≤ 0;

Resolva as equações e inequações seguintes:
(a) 2 lnx− ln(x− 1) = 2 ln 2;
(b) x log3 x− x ≤ 0;
(c) x log2(x + 1) > x;
(d) (x2 − 1) log 1
4
x ≥ 0;

Considere as funções f e g definidas, respectivamente, por f(x) = √x(x4 +3) e g(x) = 12√x. Determine, caso exista, a ∈ R por forma que as tangentes aos gráficos de f e g no ponto x = a sejam paralelas.

Determine o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico da função f(x) = −x2 +3x no ponto x = 4 com o eixo das abscissas.

Considere a função f(x) = 1/x + ln |x− 3|
(a) Indique o seu domínio.
(b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que f(x) = xg(x), ∀x ∈ R. Prove que se g é contínua em x = 0, então f é diferenciável em x = 0 e f ′(0) = g(0).
(b) Sendo h : R → R definida por h(x) = x |x|, determine h′(0).

Em cada uma das alíneas que se seguem, determine a função derivada da função considerada.
(a) f(x) = (x− 1)(x2 + 3x);
(b) f(x) = 3√(2x− 1)2;
(c) f(x) = cosx/(1− sinx);
(d) f(x) = x2ex^2;
(e) f(x) = arcsen√x;
(f) f(x) = 3tgx;
(g) f(x) = log3(tanx);
(h) f(x) = ex^3√(x−1);
(i) f(x) = cos(log2(x^2));
(j) f(x) = (1− x^2) lnx;
(k) f(x) = (1 + x^2) arctgx;
(l) f(x) = x^2 − ln(x^2)/x;
(m) f(x) = arcsen(1/x^2);

1. Diga, justificando, se as seguintes funções são integráveis.
(a) f : [0, 4] → R definida por f(x) = cos(x^2 - 2x).
(b) f : [0, π/2] → R definida por f(x) = { tanx se x ∈ [0, π/2[ 2 se x = π/2
(c) f : [−2, 1] → R definida por f(x) = { x+ 1 se x ∈ [−2, 0[ 2 se x = 0 x se x ∈]0, 1]

2. Seja F a função definida por F(x) = ∫ x^0 f(t) dt, sendo a função f definida por f(t) = { 2t^2 + 1 se t ≤ 0 sin(t)/t se t > 0 Verifique que F ′(x) = f(x), para todo o x ∈ R.

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Resolva as equações e inequações seguintes:(a) ex = e−x;(b) 2x ≤ 12;(c) 4x − 3 · 2x + 2 ≥ 0;(d) x2ex+1 − x ex−1 < 0;(e) 1− 23x−13x2−2 − 9 ≤ 0;

Resolva as equações e inequações seguintes:(a) 2 lnx− ln(x− 1) = 2 ln 2;(b) x log3 x− x ≤ 0;(c) x log2(x + 1) > x;(d) (x2 − 1) log 14x ≥ 0;

Considere as funções f e g definidas, respectivamente, por f(x) = √x(x4 +3) e g(x) = 12√x. Determine, caso exista, a ∈ R por forma que as tangentes aos gráficos de f e g no ponto x = a sejam paralelas.

Determine o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico da função f(x) = −x2 +3x no ponto x = 4 com o eixo das abscissas.

Considere a função f(x) = 1/x + ln |x− 3|(a) Indique o seu domínio.(b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que f(x) = xg(x), ∀x ∈ R. Prove que se g é contínua em x = 0, então f é diferenciável em x = 0 e f ′(0) = g(0).(b) Sendo h : R → R definida por h(x) = x |x|, determine h′(0).

2. Seja F a função definida por F(x) = ∫ x^0 f(t) dt, sendo a função f definida por f(t) = { 2t^2 + 1 se t ≤ 0 sin(t)/t se t > 0 Verifique que F ′(x) = f(x), para todo o x ∈ R.

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(a) ex = e−x;
(b) 2x ≤ 1
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(c) 4x − 3 · 2x + 2 ≥ 0;
(d) x2ex+1 − x ex−1 < 0;
(e) 1− 23x−1
3x2−2 − 9 ≤ 0;

Resolva as equações e inequações seguintes:
(a) 2 lnx− ln(x− 1) = 2 ln 2;
(b) x log3 x− x ≤ 0;
(c) x log2(x + 1) > x;
(d) (x2 − 1) log 1
4
x ≥ 0;

Considere a função f(x) = 1/x + ln |x− 3|
(a) Indique o seu domínio.
(b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que f(x) = xg(x), ∀x ∈ R. Prove que se g é contínua em x = 0, então f é diferenciável em x = 0 e f ′(0) = g(0).
(b) Sendo h : R → R definida por h(x) = x |x|, determine h′(0).