Para calcular o volume dado pela integral tripla \(\int_{2}^{1} \int_{1}^{-1} \int_{2}^{0} (x+y+z) \, dx \, dy \, dz\), precisamos primeiro entender os limites de integração e a função a ser integrada. No entanto, parece que os limites de integração estão invertidos, pois o limite superior deve ser maior que o limite inferior. Vamos considerar a integral correta como: \[ \int_{0}^{2} \int_{-1}^{1} \int_{1}^{2} (x+y+z) \, dx \, dy \, dz \] Agora, vamos calcular a integral passo a passo: 1. Integrar em relação a \(x\): \[ \int (x+y+z) \, dx = \frac{x^2}{2} + (y+z)x \] Avaliando de \(1\) a \(2\): \[ \left[\frac{2^2}{2} + (y+z) \cdot 2\right] - \left[\frac{1^2}{2} + (y+z) \cdot 1\right] \] \[ = \left[2 + 2(y+z)\right] - \left[\frac{1}{2} + (y+z)\right] \] \[ = 2 - \frac{1}{2} + 2(y+z) - (y+z) = \frac{3}{2} + (y+z) \] 2. Integrar em relação a \(y\): Agora, integramos \(\frac{3}{2} + (y+z)\) em relação a \(y\) de \(-1\) a \(1\): \[ \int_{-1}^{1} \left(\frac{3}{2} + (y+z)\right) \, dy = \left[\frac{3}{2}y + \frac{y^2}{2} + zy\right]_{-1}^{1} \] Avaliando: \[ = \left[\frac{3}{2}(1) + \frac{1^2}{2} + z(1)\right] - \left[\frac{3}{2}(-1) + \frac{(-1)^2}{2} + z(-1)\right] \] \[ = \left[\frac{3}{2} + \frac{1}{2} + z\right] - \left[-\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - z\right] \] \[ = \left[2 + z\right] - \left[-1 - z\right] = 3 + 2z \] 3. Integrar em relação a \(z\): Agora, integramos \(3 + 2z\) em relação a \(z\) de \(0\) a \(2\): \[ \int_{0}^{2} (3 + 2z) \, dz = \left[3z + z^2\right]_{0}^{2} \] Avaliando: \[ = \left[3(2) + (2)^2\right] - \left[3(0) + (0)^2\right] = 6 + 4 = 10 \] Portanto, o valor da integral tripla é \(10\).