Grátis: As equações simétricas da reta de interseção dos planos 2 x− y−3=0 e 3 x+ y+2 z−1=0, x , y , z∈R são: a) x/2 = (y+3)/4 = (2−z)/5 b) (x+1)/2 = (y+3...

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As equações simétricas da reta de interseção dos planos 2 x− y−3=0 e 3 x+ y+2 z−1=0, x , y , z∈R são:

a) x/2 = (y+3)/4 = (2−z)/5
b) (x+1)/2 = (y+3)/4 = (z+2)/5
c) x = (y+3)/2 = (2−z)/4
d) x−1 = (3− y)/2 = (z−2)/4
e) x−1/2 = (y+3)/4 = (z+2)/5

Aprendendo com Desafios

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Vetores no Plano R - 2024

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Para encontrar as equações simétricas da reta de interseção dos planos dados, precisamos seguir alguns passos: 1. Identificar os planos: - Plano 1: \(2x - y - 3 = 0\) - Plano 2: \(3x + y + 2z - 1 = 0\) 2. Encontrar a normal de cada plano: - A normal do primeiro plano é \( \vec{n_1} = (2, -1, 0) \). - A normal do segundo plano é \( \vec{n_2} = (3, 1, 2) \). 3. Calcular o vetor diretor da reta de interseção: - O vetor diretor \( \vec{d} \) é dado pelo produto vetorial \( \vec{n_1} \times \vec{n_2} \). 4. Encontrar um ponto na reta de interseção: - Para isso, podemos resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos. Após realizar esses cálculos, encontramos que a reta de interseção pode ser expressa nas equações simétricas. Analisando as alternativas: a) \( \frac{x}{2} = \frac{y+3}{4} = \frac{2-z}{5} \) b) \( \frac{x+1}{2} = \frac{y+3}{4} = \frac{z+2}{5} \) c) \( x = \frac{y+3}{2} = \frac{2-z}{4} \) d) \( x-1 = \frac{3-y}{2} = \frac{z-2}{4} \) e) \( \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{4} = \frac{z+2}{5} \) Após a análise, a alternativa correta que representa as equações simétricas da reta de interseção dos planos é: a) \( \frac{x}{2} = \frac{y+3}{4} = \frac{2-z}{5} \).

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A soma das coordenadas do ponto A∈R ³ simétrico ao ponto B−( x , y , z )−(1 ,4 ,2) em relação ao plano π de equação x∓ z−2=0 é:

a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
e) 10

Considere π o plano que contém o centro da esfera x ²+ y ²+z ²−6 x+2 y+4 z+13=0 e a reta de equações paramétricas {x=2+t, y=1−t, z=3+2 t, t∈R. O volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados é, em unidades de volume:

a) 50/3
b) 50/9
c) 100/3
d) 200/9
e) 100/9

Considere r e s retas do R ³ definidas por: r :{x=2 t, y=1−t, z=2+3 t, t∈R e s :{x+ y−z+1=0, 2x− y+z=0. Se θ é o ângulo formado pelas retas r e s, então cossec θ vale:

a) √7
b) √6
c) 2√14/7
d) √42/6
e) √42/7

Considere o ponto P=(1 ,3 ,−1), o plano π : x+z=2 e a reta s :{x−z= y+2z−x= y−2. As equações paramétricas de uma reta r, que passa por P, paralela ao plano π e distando 3 unidades de distância da reta s são:

a) x=t+1; y=3 ; z=−t+1
b) x=−t+1 ; y=3 ; z=−t−1
c) x=1 ; y=t+3 ; z=−t−1
d) x=1 ; y=−t+3 ; z=t+1
e) x=t+1; y=3 ; z=−t−1

A equação da reta que passa pelo ponto A(1 ,−2 ,3), que é concorrente com a reta x−2/3 = y−1/2 = z+1/1 e paralela ao plano de equação x−3 y+z+1=0, é:

a) x−1/17 = y+2/9 = z−3/10
b) x+1/17 = y−2/−9 = z+3/10
c) x−1/1 = y+2/−3 = z−3/1
d) x+1/1 = y−2/−3 = z+3/1
e) x+1/3 = y−2/2 = z+3/1

O volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano π :5x−2 y+4 z=20 é:

a) 20/3 u.v.
b) 50/3 u.v.
c) 100/3 u.v.
d) 100 u.v.
e) 200 u.v.

O plano π1 passa pela interseção dos planos π2: x+3 y+5 z−4=0 e π3: x− y−2 x+17=0. Sendo π1 paralelo ao eixo y, pode-se afirmar que o ângulo que π1 faz com o plano π4 :−2x+3 y+z−5=0 vale:

a) θ=arc cos (9/√238)
b) θ=arc cos (−√157/9)
c) θ=arc cos (−9/√238)
d) θ=arc cos (√157/9)
e) θ=arc cos (√238/9)

Seja A o ponto de intersecção entre as retas r1 :{ x=z+3, y=−2 z−1 e r2 :{x=1−5 t, 2 y=−3+t, z=5+9 t e já B o ponto de intersecção entre as retas r3 : x+2/4 = y−1/−3 =z+1 e r4 :{2 x=15+5 t, 2 y=8+3 t, 2 z=2+t. Defina a equação do plano mediador entre os pontos A e B:

a) 3 x−2 y−2 z−6=0
b) 3/2 x+5 y−3/4 z−1=0
c) 55 x−37 y+12 z=1
d) 2 x−3 y+z−12=0
e) −28 x+12 y−8 z+64=0

Sejam α e β dois planos no IR ³ cuja interseção é a reta. Os vetores v=(2 ,−3 ,1) são perpendiculares aos planos α e β, respectivamente. A equação da reta s que passa pelo centro da esfera de equação x ²+ y ²+z ²−6 x+2 z+9=0 e é paralela à reta r é:

a) x+3/2 = y = z−1/−3
b) x+3/−5 = y/2 = z−1/4
c) x−3/2 = y/−3 = z+1
d) k+3/5 = y/2 = z+1/−4
e) x−3/5 = y/2 = z+1/−4

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A soma das coordenadas do ponto A∈R ³ simétrico ao ponto B−( x , y , z )−(1 ,4 ,2) em relação ao plano π de equação x∓ z−2=0 é:a) 2b) 3c) 5d) 9e) 10

Considere π o plano que contém o centro da esfera x ²+ y ²+z ²−6 x+2 y+4 z+13=0 e a reta de equações paramétricas {x=2+t, y=1−t, z=3+2 t, t∈R. O volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados é, em unidades de volume:a) 50/3b) 50/9c) 100/3d) 200/9e) 100/9

Considere r e s retas do R ³ definidas por: r :{x=2 t, y=1−t, z=2+3 t, t∈R e s :{x+ y−z+1=0, 2x− y+z=0. Se θ é o ângulo formado pelas retas r e s, então cossec θ vale:a) √7b) √6c) 2√14/7d) √42/6e) √42/7

O volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano π :5x−2 y+4 z=20 é:a) 20/3 u.v.b) 50/3 u.v.c) 100/3 u.v.d) 100 u.v.e) 200 u.v.

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a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
e) 10

Considere π o plano que contém o centro da esfera x ²+ y ²+z ²−6 x+2 y+4 z+13=0 e a reta de equações paramétricas {x=2+t, y=1−t, z=3+2 t, t∈R. O volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados é, em unidades de volume:

a) 50/3
b) 50/9
c) 100/3
d) 200/9
e) 100/9

Considere r e s retas do R ³ definidas por: r :{x=2 t, y=1−t, z=2+3 t, t∈R e s :{x+ y−z+1=0, 2x− y+z=0. Se θ é o ângulo formado pelas retas r e s, então cossec θ vale:

a) √7
b) √6
c) 2√14/7
d) √42/6
e) √42/7

O volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano π :5x−2 y+4 z=20 é:

a) 20/3 u.v.
b) 50/3 u.v.
c) 100/3 u.v.
d) 100 u.v.
e) 200 u.v.