Grátis: Seja A o ponto de intersecção entre as retas r1 :{ x=z+3, y=−2 z−1 e r2 :{x=1−5 t, 2 y=−3+t, z=5+9 t e já B o ponto de intersecção entre as retas r...

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Seja A o ponto de intersecção entre as retas r1 :{ x=z+3, y=−2 z−1 e r2 :{x=1−5 t, 2 y=−3+t, z=5+9 t e já B o ponto de intersecção entre as retas r3 : x+2/4 = y−1/−3 =z+1 e r4 :{2 x=15+5 t, 2 y=8+3 t, 2 z=2+t. Defina a equação do plano mediador entre os pontos A e B:

a) 3 x−2 y−2 z−6=0
b) 3/2 x+5 y−3/4 z−1=0
c) 55 x−37 y+12 z=1
d) 2 x−3 y+z−12=0
e) −28 x+12 y−8 z+64=0

Aprendendo com Desafios

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Vetores no Plano R - 2024

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Para determinar a equação do plano mediador entre os pontos A e B, precisamos primeiro encontrar as coordenadas desses pontos a partir das retas dadas. 1. Encontrar o ponto A: - Para a reta \( r_1 \), temos as equações \( x = z + 3 \) e \( y = -2z - 1 \). - Para a reta \( r_2 \), temos \( x = 1 - 5t \), \( y = \frac{-3 + t}{2} \), e \( z = 5 + 9t \). - Igualamos as equações para encontrar o ponto de interseção. 2. Encontrar o ponto B: - Para a reta \( r_3 \), a equação é \( \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z + 1}{1} \). - Para a reta \( r_4 \), temos \( 2x = 15 + 5t \), \( 2y = 8 + 3t \), e \( 2z = 2 + t \). - Novamente, igualamos as equações para encontrar o ponto de interseção. 3. Encontrar o ponto médio: - Com as coordenadas de A e B, calculamos o ponto médio \( M \) entre A e B. 4. Equação do plano mediador: - O plano mediador pode ser definido pela equação que passa pelo ponto médio \( M \) e é perpendicular ao vetor que vai de A a B. Como a pergunta não fornece as coordenadas exatas de A e B, não podemos calcular diretamente a equação do plano mediador. Portanto, você precisa criar uma nova pergunta com mais informações ou dados específicos para que eu possa ajudar.

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A soma das coordenadas do ponto A∈R ³ simétrico ao ponto B−( x , y , z )−(1 ,4 ,2) em relação ao plano π de equação x∓ z−2=0 é:

a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
e) 10

As equações simétricas da reta de interseção dos planos 2 x− y−3=0 e 3 x+ y+2 z−1=0, x , y , z∈R são:

a) x/2 = (y+3)/4 = (2−z)/5
b) (x+1)/2 = (y+3)/4 = (z+2)/5
c) x = (y+3)/2 = (2−z)/4
d) x−1 = (3− y)/2 = (z−2)/4
e) x−1/2 = (y+3)/4 = (z+2)/5

Considere π o plano que contém o centro da esfera x ²+ y ²+z ²−6 x+2 y+4 z+13=0 e a reta de equações paramétricas {x=2+t, y=1−t, z=3+2 t, t∈R. O volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados é, em unidades de volume:

a) 50/3
b) 50/9
c) 100/3
d) 200/9
e) 100/9

Considere r e s retas do R ³ definidas por: r :{x=2 t, y=1−t, z=2+3 t, t∈R e s :{x+ y−z+1=0, 2x− y+z=0. Se θ é o ângulo formado pelas retas r e s, então cossec θ vale:

a) √7
b) √6
c) 2√14/7
d) √42/6
e) √42/7

Considere o ponto P=(1 ,3 ,−1), o plano π : x+z=2 e a reta s :{x−z= y+2z−x= y−2. As equações paramétricas de uma reta r, que passa por P, paralela ao plano π e distando 3 unidades de distância da reta s são:

a) x=t+1; y=3 ; z=−t+1
b) x=−t+1 ; y=3 ; z=−t−1
c) x=1 ; y=t+3 ; z=−t−1
d) x=1 ; y=−t+3 ; z=t+1
e) x=t+1; y=3 ; z=−t−1

A equação da reta que passa pelo ponto A(1 ,−2 ,3), que é concorrente com a reta x−2/3 = y−1/2 = z+1/1 e paralela ao plano de equação x−3 y+z+1=0, é:

a) x−1/17 = y+2/9 = z−3/10
b) x+1/17 = y−2/−9 = z+3/10
c) x−1/1 = y+2/−3 = z−3/1
d) x+1/1 = y−2/−3 = z+3/1
e) x+1/3 = y−2/2 = z+3/1

O volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano π :5x−2 y+4 z=20 é:

a) 20/3 u.v.
b) 50/3 u.v.
c) 100/3 u.v.
d) 100 u.v.
e) 200 u.v.

O plano π1 passa pela interseção dos planos π2: x+3 y+5 z−4=0 e π3: x− y−2 x+17=0. Sendo π1 paralelo ao eixo y, pode-se afirmar que o ângulo que π1 faz com o plano π4 :−2x+3 y+z−5=0 vale:

a) θ=arc cos (9/√238)
b) θ=arc cos (−√157/9)
c) θ=arc cos (−9/√238)
d) θ=arc cos (√157/9)
e) θ=arc cos (√238/9)

Sejam α e β dois planos no IR ³ cuja interseção é a reta. Os vetores v=(2 ,−3 ,1) são perpendiculares aos planos α e β, respectivamente. A equação da reta s que passa pelo centro da esfera de equação x ²+ y ²+z ²−6 x+2 z+9=0 e é paralela à reta r é:

a) x+3/2 = y = z−1/−3
b) x+3/−5 = y/2 = z−1/4
c) x−3/2 = y/−3 = z+1
d) k+3/5 = y/2 = z+1/−4
e) x−3/5 = y/2 = z+1/−4

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A soma das coordenadas do ponto A∈R ³ simétrico ao ponto B−( x , y , z )−(1 ,4 ,2) em relação ao plano π de equação x∓ z−2=0 é:a) 2b) 3c) 5d) 9e) 10

As equações simétricas da reta de interseção dos planos 2 x− y−3=0 e 3 x+ y+2 z−1=0, x , y , z∈R são:a) x/2 = (y+3)/4 = (2−z)/5b) (x+1)/2 = (y+3)/4 = (z+2)/5c) x = (y+3)/2 = (2−z)/4d) x−1 = (3− y)/2 = (z−2)/4e) x−1/2 = (y+3)/4 = (z+2)/5

Considere π o plano que contém o centro da esfera x ²+ y ²+z ²−6 x+2 y+4 z+13=0 e a reta de equações paramétricas {x=2+t, y=1−t, z=3+2 t, t∈R. O volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados é, em unidades de volume:a) 50/3b) 50/9c) 100/3d) 200/9e) 100/9

Considere r e s retas do R ³ definidas por: r :{x=2 t, y=1−t, z=2+3 t, t∈R e s :{x+ y−z+1=0, 2x− y+z=0. Se θ é o ângulo formado pelas retas r e s, então cossec θ vale:a) √7b) √6c) 2√14/7d) √42/6e) √42/7

O volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano π :5x−2 y+4 z=20 é:a) 20/3 u.v.b) 50/3 u.v.c) 100/3 u.v.d) 100 u.v.e) 200 u.v.

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c) 5
d) 9
e) 10

As equações simétricas da reta de interseção dos planos 2 x− y−3=0 e 3 x+ y+2 z−1=0, x , y , z∈R são:

a) x/2 = (y+3)/4 = (2−z)/5
b) (x+1)/2 = (y+3)/4 = (z+2)/5
c) x = (y+3)/2 = (2−z)/4
d) x−1 = (3− y)/2 = (z−2)/4
e) x−1/2 = (y+3)/4 = (z+2)/5

Considere π o plano que contém o centro da esfera x ²+ y ²+z ²−6 x+2 y+4 z+13=0 e a reta de equações paramétricas {x=2+t, y=1−t, z=3+2 t, t∈R. O volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados é, em unidades de volume:

a) 50/3
b) 50/9
c) 100/3
d) 200/9
e) 100/9

Considere r e s retas do R ³ definidas por: r :{x=2 t, y=1−t, z=2+3 t, t∈R e s :{x+ y−z+1=0, 2x− y+z=0. Se θ é o ângulo formado pelas retas r e s, então cossec θ vale:

a) √7
b) √6
c) 2√14/7
d) √42/6
e) √42/7

O volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano π :5x−2 y+4 z=20 é:

a) 20/3 u.v.
b) 50/3 u.v.
c) 100/3 u.v.
d) 100 u.v.
e) 200 u.v.