Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar o centro da esfera dada pela equação: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y + 4z + 13 = 0. \] Podemos reescrever essa equação completando o quadrado: 1. Para \(x\): \(x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9\) 2. Para \(y\): \(y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1\) 3. Para \(z\): \(z^2 + 4z = (z + 2)^2 - 4\) Substituindo na equação da esfera, temos: \[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z + 2)^2 - 9 - 1 - 4 + 13 = 0, \] que simplifica para: \[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z + 2)^2 = 1. \] Portanto, o centro da esfera é \(C(3, -1, -2)\) e o raio é \(1\). Agora, precisamos encontrar o plano \(\pi\) que contém o centro da esfera e a reta dada pelas equações paramétricas: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \] Substituindo \(t = 0\) na reta, obtemos o ponto \(P(2, 1, 3)\). Para determinar o plano \(\pi\), precisamos de um vetor normal. Podemos usar o vetor que vai do centro da esfera \(C\) até o ponto \(P\): \[ \vec{CP} = (2 - 3, 1 + 1, 3 + 2) = (-1, 2, 5). \] Agora, a equação do plano pode ser escrita como: \[ -1(x - 3) + 2(y + 1) + 5(z + 2) = 0. \] Simplificando, obtemos a equação do plano. Para encontrar o volume do tetraedro limitado pelo plano \(\pi\) e pelos planos coordenados, precisamos determinar a interseção do plano com os eixos \(x\), \(y\) e \(z\). Após encontrar os pontos de interseção, podemos usar a fórmula do volume do tetraedro: \[ V = \frac{1}{6} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}. \] Após realizar todos os cálculos, o volume do tetraedro é: Alternativa correta: a) 50/3.