Para determinar o módulo (ou magnitude) de um vetor, utilizamos a fórmula: \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] onde \(x\), \(y\) e \(z\) são as componentes do vetor. Vamos analisar cada alternativa: a) \(\vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}\) Aqui, as componentes são \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\). \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] b) \(\vec{v} = (2, 3, 1)\) Aqui, as componentes são \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = 1\). \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \] c) Vetor \(\vec{v}\) com origem no ponto (2, 1, 1) e extremidade (0, 0, 3) As componentes são \(x = 0 - 2 = -2\), \(y = 0 - 1 = -1\), \(z = 3 - 1 = 2\). \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] d) \(\vec{v} = -\vec{i} + \vec{k}\) Aqui, as componentes são \(x = -1\), \(y = 0\), \(z = 1\). \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] Resumindo: - a) \(\sqrt{14}\) - b) \(\sqrt{14}\) - c) \(3\) - d) \(\sqrt{2}\) Se você está procurando o módulo de cada vetor, as respostas são: - Para a) e b), o módulo é \(\sqrt{14}\). - Para c), o módulo é \(3\). - Para d), o módulo é \(\sqrt{2}\). Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!