O vetor ~v = (−7, 7, 7) é combinação linear dos vetores ~u1 = (−1, 2, 4) e ~u2 = (5,−3, 1)?

Para verificar se o vetor \(\mathbf{v} = (-7, 7, 7)\) é uma combinação linear dos vetores \(\mathbf{u_1} = (-1, 2, 4)\) e \(\mathbf{u_2} = (5, -3, 1)\), precisamos encontrar escalares \(a\) e \(b\) tais que: \[ a \cdot \mathbf{u_1} + b \cdot \mathbf{u_2} = \mathbf{v} \] Isso resulta no sistema de equações: \[ a(-1) + b(5) = -7 \quad (1) \] \[ a(2) + b(-3) = 7 \quad (2) \] \[ a(4) + b(1) = 7 \quad (3) \] Agora, resolvemos esse sistema. 1. Da equação (1): \(-a + 5b = -7\) → \(a = 5b + 7\) 2. Substituindo \(a\) na equação (2): \(2(5b + 7) - 3b = 7\) \[10b + 14 - 3b = 7\] \[7b + 14 = 7\] \[7b = -7\] \[b = -1\] 3. Agora, substituímos \(b\) na expressão de \(a\): \[a = 5(-1) + 7 = 2\] Agora, temos \(a = 2\) e \(b = -1\). Verificando na equação (3): \[ 4(2) + (-1)(1) = 8 - 1 = 7 \] Como as três equações são satisfeitas, concluímos que o vetor \(\mathbf{v}\) é, sim, uma combinação linear dos vetores \(\mathbf{u_1}\) e \(\mathbf{u_2}\).