Encontre os números a1 e a2 tais que ~w = a1 ~v1 + a2 ~v2, sendo ~v1 = (1,−2, 1), ~v2 = (2, 0,−4) e ~w = (−4,−4, 14)

Para encontrar os números \( a_1 \) e \( a_2 \) tais que \( \mathbf{w} = a_1 \mathbf{v_1} + a_2 \mathbf{v_2} \), onde \( \mathbf{v_1} = (1, -2, 1) \), \( \mathbf{v_2} = (2, 0, -4) \) e \( \mathbf{w} = (-4, -4, 14) \), vamos montar um sistema de equações. 1. Escrevendo a equação: \[ (-4, -4, 14) = a_1(1, -2, 1) + a_2(2, 0, -4) \] 2. Isso resulta em: \[ (-4, -4, 14) = (a_1 + 2a_2, -2a_1, a_1 - 4a_2) \] 3. Agora, igualamos as componentes: - \( a_1 + 2a_2 = -4 \) (1) - \( -2a_1 = -4 \) (2) - \( a_1 - 4a_2 = 14 \) (3) 4. Resolvendo a equação (2): \[ -2a_1 = -4 \implies a_1 = 2 \] 5. Substituindo \( a_1 \) na equação (1): \[ 2 + 2a_2 = -4 \implies 2a_2 = -6 \implies a_2 = -3 \] 6. Verificando na equação (3): \[ 2 - 4(-3) = 2 + 12 = 14 \quad \text{(correto)} \] Portanto, os valores são: \[ a_1 = 2 \quad \text{e} \quad a_2 = -3 \]