Mostre que o vetor ~v = (3, 1, 1) ∈ R3 é combinação linear dos vetores ~u1 = (1, 1, 0), ~u2 = (2, 1, 2), ~u3 = (1, 2, 1) ∈ R3.

Para mostrar que o vetor \(\mathbf{v} = (3, 1, 1)\) é uma combinação linear dos vetores \(\mathbf{u_1} = (1, 1, 0)\), \(\mathbf{u_2} = (2, 1, 2)\) e \(\mathbf{u_3} = (1, 2, 1)\), precisamos encontrar escalares \(a\), \(b\) e \(c\) tais que: \[ \mathbf{v} = a\mathbf{u_1} + b\mathbf{u_2} + c\mathbf{u_3} \] Isso se traduz no seguinte sistema de equações: \[ a(1, 1, 0) + b(2, 1, 2) + c(1, 2, 1) = (3, 1, 1) \] Escrevendo isso em forma de equações: 1. \(a + 2b + c = 3\) (equação 1) 2. \(a + b + 2c = 1\) (equação 2) 3. \(2b + c = 1\) (equação 3) Agora, vamos resolver esse sistema. Da equação 3, podemos expressar \(c\) em termos de \(b\): \[ c = 1 - 2b \] Substituindo \(c\) na equação 1: \[ a + 2b + (1 - 2b) = 3 \] \[ a + 1 = 3 \implies a = 2 \] Agora, substituindo \(a\) na equação 2: \[ 2 + b + 2(1 - 2b) = 1 \] \[ 2 + b + 2 - 4b = 1 \] \[ 4 - 3b = 1 \implies 3b = 3 \implies b = 1 \] Agora, substituindo \(b\) para encontrar \(c\): \[ c = 1 - 2(1) = -1 \] Portanto, temos: \[ a = 2, \quad b = 1, \quad c = -1 \] Assim, podemos escrever: \[ \mathbf{v} = 2\mathbf{u_1} + 1\mathbf{u_2} - 1\mathbf{u_3} \] Logo, \(\mathbf{v}\) é uma combinação linear dos vetores \(\mathbf{u_1}\), \(\mathbf{u_2}\) e \(\mathbf{u_3}\).