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Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δ(x,y) = 3y. Sabe-se que S = {(x,y)∣0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x²}.

A 1/2
B 1/3
C 1/4
D 1/12
E 1/6
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Para determinar o momento de inércia em torno do eixo x de um objeto planar, usamos a fórmula: \[ I_x = \iint_S y^2 \cdot \delta(x,y) \, dA \] onde \( \delta(x,y) = 3y \) e a região \( S \) é definida por \( 0 \leq x \leq 1 \) e \( 0 \leq y \leq x^2 \). 1. Definindo a integral: \[ I_x = \iint_S y^2 \cdot 3y \, dA = 3 \iint_S y^3 \, dA \] 2. Mudando para coordenadas de integração: A região \( S \) é delimitada por \( 0 \leq x \leq 1 \) e \( 0 \leq y \leq x^2 \). Portanto, a integral se torna: \[ I_x = 3 \int_0^1 \int_0^{x^2} y^3 \, dy \, dx \] 3. Calculando a integral interna: \[ \int_0^{x^2} y^3 \, dy = \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{x^2} = \frac{(x^2)^4}{4} = \frac{x^8}{4} \] 4. Substituindo na integral externa: \[ I_x = 3 \int_0^1 \frac{x^8}{4} \, dx = \frac{3}{4} \int_0^1 x^8 \, dx \] 5. Calculando a integral externa: \[ \int_0^1 x^8 \, dx = \left[ \frac{x^9}{9} \right]_0^1 = \frac{1}{9} \] 6. Substituindo de volta: \[ I_x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] Portanto, o momento de inércia em torno do eixo x é: D) 1/12.

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Qual é o valor de →G(0) para que a função →G(t) = ⟨e^(2t + 1), √(t + 1) - 1/t, 2 sen(t)⟩ seja contínua em t = 0?

E < 1, 1/2, 2 >

A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por T(x, y) = 36−2x²−4y², onde x e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P = (2, 1). A trajetória do objeto em cada instante t (segundos) é dada por r(t) = (t, t²/4), dessa forma, determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto Q = (4, 4).

D -80°C/seg.

A regra da cadeia é um conceito fundamental na diferenciação de funções de várias variáveis e permite calcular a derivada de uma função composta. Sabendo que f(x, y) é uma função diferenciável no ponto (2, 1) de forma que fx(2, 1) = 2. Se r(t) = (t + 2, e^(2t)) sabendo que d/dt f(r(t))|t = 0 = −2, quanto vale fy(2, 1)?

A -2.

Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções f(x, y) = e^(xy), g(t) = cos(t), h(t) = sen(t) e F(t) = f(g(t), h(t)), calcule F′(0).

D 1.

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico x = y 2 e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0.

A
B
C
D
E

a um conceito fundamental em vetores, que é:

A O vetor como uma medida de distância percorrida
B O vetor como uma grandeza escalar
C O vetor como uma quantidade aleatória de deslocamento
D O vetor como uma quantidade puramente numérica
E O vetor como uma quantidade vetorial com direção e sentido

Seja f( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 1 , 2 ), e que f x ( 1 , 2 ) = −1 e que sua derivada direcional ( 1 , 2 ) segundo a direção do vetor ( 1 , 1 ) vale 1, qual o valor de f y ( 1 , 2 )?

A 1.
B 2.
C √ 2.
D 0.
E 1+ √ 2

Considere uma curva parametrizada no espaço tridimensional. O plano osculador em um ponto da curva é definido como:

A O plano que contém o vetor normal e o vetor binormal à curva no ponto.
B O plano que contém o vetor tangente e o vetor normal à curva no ponto.
C O plano que contém o vetor tangente e o vetor osculador à curva no ponto.
D O plano que contém a derivada primeira e a derivada segunda da curva no ponto.
E O plano que contém o vetor tangente e o vetor binormal à curva no ponto.

Na física, ao estudar o movimento de uma partícula em um campo vetorial, é comum utilizar um vetor especial chamado versor. Esse versor é definido como:

A Um vetor com magnitude igual ao produto das coordenadas componentes.
B Um vetor com magnitude igual a 1
C Um vetor com magnitude igual a zero
D Um vetor com magnitude igual a 2
E Um vetor com magnitude variável dependendo do campo vetorial

A derivada parcial é uma das principais ferramentas para analisar funções de várias variáveis. Ela permite calcular a taxa de variação da função em relação a uma variável específica, mantendo as demais constantes. Sobre as derivadas parciais, marque a afirmativa correta.

A Se uma função f : R 2 → R diferenciável em ( x 0 , y 0 ) pode não ter plano tangente em ( x 0 , y 0 , f( x 0 , y 0 )).
B Se uma função f : R 2 → R possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável.
C Toda função f : R 2 → R contínua em um ponto P é diferenciável em P.
D Para provar que uma função f : R 2 → R é contínua em ( x 0 , y 0 ), basta provar que lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f( x , y ) existe sobre todas as retas que passam por ( x 0 , y 0 ).
E A função f( x , y ) = √ x 2+ y 2 tem derivadas direcionais em todas as direções do ponto ( 0 , 0 ).

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