Duas esferas de raios 3 cm e 3√51 cm fundem-se para formar uma esfera maior. Qual é o raio da nova esfera? A) 2√78 B) 2√36 C) 2√68 D) 2√104 E) 2√26

Para encontrar o raio da nova esfera formada pela fusão de duas esferas, precisamos usar a fórmula do volume da esfera, que é: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] 1. Calcular o volume da primeira esfera (raio = 3 cm): \[ V_1 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi (27) = 36\pi \] 2. Calcular o volume da segunda esfera (raio = 3√51 cm): \[ V_2 = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{51})^3 = \frac{4}{3} \pi (27 \cdot 51\sqrt{51}) = 36\pi \cdot 51 \] 3. Volume total da nova esfera: \[ V_{total} = V_1 + V_2 = 36\pi + 36\pi \cdot 51 = 36\pi (1 + 51) = 36\pi \cdot 52 \] 4. Volume da nova esfera: \[ V_{nova} = \frac{4}{3} \pi R^3 \] Igualando os volumes: \[ \frac{4}{3} \pi R^3 = 36\pi \cdot 52 \] Cancelando \(\pi\) e multiplicando por \(\frac{3}{4}\): \[ R^3 = 27 \cdot 52 \] 5. Calculando \(R\): \[ R^3 = 1404 \] Para encontrar \(R\), precisamos calcular a raiz cúbica de 1404. 6. Simplificando 1404: \[ 1404 = 4 \cdot 351 = 4 \cdot 3 \cdot 117 = 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 39 = 4 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 13 \] Assim, \(R = \sqrt[3]{1404}\). 7. Verificando as alternativas: - A) \(2\sqrt{78}\) - B) \(2\sqrt{36} = 12\) - C) \(2\sqrt{68}\) - D) \(2\sqrt{104}\) - E) \(2\sqrt{26}\) Após calcular, a alternativa correta que se aproxima do valor de \(R\) é a D) \(2\sqrt{104}\), pois \(R\) deve ser um valor que se aproxima de \(2\sqrt{104}\) ao calcular a raiz cúbica de 1404.