Para que a equação \((\lambda - 1)x^2 + (\lambda - 3)y^2 = \lambda - 2\) represente uma elipse, precisamos considerar as condições que definem uma elipse. 1. Forma geral da elipse: A equação deve ser da forma \(Ax^2 + By^2 = C\), onde \(A > 0\) e \(B > 0\). 2. Analisando os coeficientes: - \(A = \lambda - 1\) - \(B = \lambda - 3\) - \(C = \lambda - 2\) 3. Condições para elipse: - Para que a equação represente uma elipse, precisamos que: - \(\lambda - 1 > 0 \Rightarrow \lambda > 1\) - \(\lambda - 3 > 0 \Rightarrow \lambda > 3\) Portanto, a condição mais restritiva é \(\lambda > 3\). 4. Casos degenerados: - Se \(\lambda - 1 = 0\) (ou seja, \(\lambda = 1\)), a equação se torna \(0 \cdot x^2 + (\lambda - 3)y^2 = \lambda - 2\), que não representa uma elipse. - Se \(\lambda - 3 = 0\) (ou seja, \(\lambda = 3\)), a equação se torna \((\lambda - 1)x^2 + 0 \cdot y^2 = \lambda - 2\), que também não representa uma elipse. 5. Conclusão: - A equação representa uma elipse para \(\lambda > 3\). - Para \(\lambda = 1\) e \(\lambda = 3\), temos casos degenerados que não representam elipses. Portanto, os valores de \(\lambda\) para os quais a equação representa uma elipse são \(\lambda > 3\).