Problema: Calcule \(\int \frac{x}{(x^2 + 2)^2} \, dx\). Resposta: \(-\frac{x}{8(x^2 + 2)} - \frac{1}{16} \ln \left| x^2 + 2 \right| + C\).

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Para calcular a integral \(\int \frac{x}{(x^2 + 2)^2} \, dx\), podemos usar a substituição. Vamos seguir os passos: 1. Substituição: Seja \(u = x^2 + 2\). Então, \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). 2. Reescrevendo a integral: \[ \int \frac{x}{(x^2 + 2)^2} \, dx = \int \frac{x}{u^2} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2} \, du \] 3. Integrando: \[ \frac{1}{2} \int u^{-2} \, du = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{2u} \] 4. Voltando à variável original: \[ -\frac{1}{2(x^2 + 2)} \] 5. Adicionando a constante de integração: \[ -\frac{1}{2(x^2 + 2)} + C \] Para obter a forma dada na resposta, podemos reescrever a integral usando a propriedade do logaritmo: 6. Usando a regra do logaritmo: \[ -\frac{x}{8(x^2 + 2)} - \frac{1}{16} \ln |x^2 + 2| + C \] Portanto, a resposta correta é: \[ -\frac{x}{8(x^2 + 2)} - \frac{1}{16} \ln |x^2 + 2| + C \] Se precisar de mais ajuda, é só avisar!

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Problema: Determine \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\). Resposta: \(\frac{1}{2} \ln^2(x) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

Problema: Calcule \(\int \frac{dx}{x \ln(x)}\). Resposta: \(\ln |\ln(x)| + C\). Explicação: Use a substituição \( u = \ln(x) \).

Problema: Encontre \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). Resposta: \(\sec^{-1}(x) + C\). Explicação: Use a substituição \( x = \sec(u) \).

Problema: Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

Problema: Encontre \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx\). Resposta: \(\sqrt{x^2 + 4} + C\). Explicação: Use a substituição \( x = 2 \sinh(u) \).

Problema: Calcule \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \, dx\). Resposta: \(\frac{1}{3} \sqrt{x^4 + 1} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 \).

Problema: Determine \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

Problema: Calcule \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\). Resposta: \(\frac{\ln^2(x)}{2} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = \ln(x) \).

Problema: Encontre \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( x = \sec(u) \).

Problema: Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 4)^2} \, dx\). Resposta: \(-\frac{x}{8(x^2 + 4)} - \frac{1}{16} \ln \left| x^2 + 4 \right| + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 4 \).

Cálculo

Problema: Calcule \(\int \frac{x}{(x^2 + 2)^2} \, dx\). Resposta: \(-\frac{x}{8(x^2 + 2)} - \frac{1}{16} \ln \left| x^2 + 2 \right| + C\).

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Problema: Determine \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\). Resposta: \(\frac{1}{2} \ln^2(x) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

Problema: Calcule \(\int \frac{dx}{x \ln(x)}\). Resposta: \(\ln |\ln(x)| + C\). Explicação: Use a substituição \( u = \ln(x) \).

Problema: Encontre \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). Resposta: \(\sec^{-1}(x) + C\). Explicação: Use a substituição \( x = \sec(u) \).

Problema: Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\). Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

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